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圆的一般方程,点到直线距离公式,x,y,P0 (x0,y0),O,S,R,Q,d,注意: 化为一般式,圆的标准方程,x,y,O,C,M(x,y),圆心C(a,b),半径r,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:,标准方程,圆心 (2, 4) ,半径,求圆心和半径,圆 (x1)2+ (y1)2=9,圆 (x2)2+ (y+4)2=2,圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2,圆心 (1, 1) ,半径3,圆心 (1, 2) ,半径|m|,圆的一般方程,展开得,任何一个圆的方程都是二元二次方程,反之是否成立?,圆的一般方程,配方得,不一定是圆,以(1,-2)为圆心,以2为半径的圆,配方得,不是圆,练习,判断下列方程是不是表示圆,以(2,3)为圆心,以3为半径的圆,表示点(2,3),不表示任何图形,圆的一般方程,得:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,即:x2+y2+Dx+Ey+F=0(1),可见任何圆的方程都可以写成(1)式,,不妨设:D2a、E2b、Fa2+b2-r2,圆的一般方程,(1)当 时,,表示圆,,(2)当 时,,表示点,(3)当 时,,不表示任何图形,(x-a)2+(y-b)2 =r2,两种方程的字母间的关系:,形式特点:(1)x2和y2的系数相同,不等于0(2)没有xy这样的项。,练习1:下列方程各表示什么图形?,原点(0,0),练习2 :将下列各圆方程化为标准方程, 并求圆的半径和圆心坐标.,(1)圆心(-3,0),半径3.,(2)圆心(0,b),半径|b|.,若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,练习:,若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解.,练习:,把点A,B,C的坐标代入得方程组,所求圆的方程为:,小结,(1)当 时,,表示圆,,(2)当 时,,表示点,(3)当 时,,不表示任何图形,例2. 已知一曲线是与定点O(0,0),A(3,0)距离的比是,求此曲线的轨迹方程,并画出曲线,的点的轨迹,,解:在给定的坐标系里,设点M(x,y)是曲线上的任意一点,也就是点M属于集合,由两点间的距离公式,得,化简得 x2+y2+2x30 这就是所求的曲线方程 把方程的左边配方,得(x+1)2+y24 所以方程的曲线是以C(1,0)为圆心,2为半径的圆,x,y,M,A,O,.,O,.,.,例2:已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离的比为 的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线。,简单的思考与应用 (1)已知圆 的圆心坐标为 (-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于是圆的方程的充要条件是(3)圆 与 轴相切,则这个圆截 轴所得的弦长是,(4)点 是圆 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是,例题. 自点A(-3,3)发射的光线l 射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l 所在直线的方程.,B(-3,-3),入射光线及反射光线与x轴夹角相等.,(2)点P关于x轴的对称点Q在反射光线所在的直线l 上.,(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.,答案: l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0,例:求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程,圆心:两条弦的中垂线的交点,半径:圆心到圆上一点,x,y,O,E,A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),几何方法,方法一:,方法二:待定系数法,待定系数法,解:设所求圆的方程为:,因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上,所求圆的方程为,方法三:待定系数法,解:设所求圆的方程为:,因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上,所求圆的方程为,小结:求圆的方程,几何方法,求圆心坐标 (两条直线的交点)(常用弦的中垂线),求 半径 (圆心到圆上一点的距离),写出圆的标准方程,待定系数法,列关于a,b,r(或D,E,F)的方程组,解出a,b,r(或D,E,F),写出标准方程(或一般方程),
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