28.2 过三点的圆教学设计（冀教版九年级上册）深州市王家井镇中学刘凤娥教学目标 知识与技能 1. 经历过一点，两点和不在同一直线上的三点作圆的过程。 2. 知道过不在同一直线上的三点作圆的方法。 3. 了解三角形外接圆与外心。 过程与方法 通过过不在同一直线上的三点作圆的教学，培养学生善于观 察、发现、探索、归纳问题的能力，培养学生动手操作的能力。 情感态度与价值观 在从过一点、 过两点开始， 探究过不在同一直线上的三点作 圆的过程中使学生认识到过已知点作圆时，要紧紧抓住对圆心和 半径的探讨上， 感受解答问题要把握解答问题的关键，找出突破 口，从而获得成功感。 重点难点 重点 过不在同一直线上的三点作圆的方法 难点 确定圆心的位置 教学过程 一.投影片出示实际问题，设疑激情 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎 片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进 行深入的研究吗？（见幻灯片）思考：如何解决这一实际问题？下面我们共同探寻解决这一问题 的办法。二、由浅入深，实践探究提问：过一点可以做几条直线。 学生回答（无数条）。提问：几点可以确定一条直线？ 学生回答 ( 两点确定一条直线 ) 提问：对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？ 提出问题，让学生思考，并进一步讨论： 探究一：经过一个已知点A ，是否可以作圆？如果能作，可以 作几个？（幻灯片） 思考：确定一个圆的关键是什么？（圆心和半径） 学生讨论并发现：过点A所作圆的圆心在哪儿？（圆心不定） 半径多大？（半径不定）可以作几个这样的圆？（无数个） 探究二：经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？（幻灯片） 学生继续讨论发现： 它们的圆心到A、 B两点的距离怎样？能用式子表示吗？（OA=OB ） 圆心在哪里？（在线段AB的垂直平分线上） 过点 A、B两个点的圆有几个？（无数个）探究三：下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？（幻 灯片 ）仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点 确定一条直线， 因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一 直线上的三个点两种情况、当 A、B、C不在同一直线上时。分析：假设经过A、B、C三点的 O存在，（ 1）圆心 O到 A、B、 C三点距离相等（填“相等”或”不相等”）。（2）连结 AB 、AC ，过 O点分别作直线MN AB ， EFAC ，则 MN是 AB的垂 直平分线；EF是 AC的垂直平分线3AB、AC的中垂线的 交点 O到 B、C的距离相等。教师在黑板上作圆，写作法，学生随教师一起作图已知：不在同一直线上的三点A、B、C 求作：O使它经过点 A、B、C 作法：1、连结 AB ，作线段 AB的垂直平分线MN ；2、连接 AC ，作线段 AC的垂直平分线EF，交 MN于点 O ；3、以 O为圆心， OB为半径作圆。O就是所求作的圆提问： 经过不在同一直线上的三点A ，B ，C 的圆是否存在？ 学生回答（存在） 提问：是否还有其他符合条件的圆呢？ 学生回答（没有） 提问：根据是什么？ 学生回答 ( 线段 AB ， BC 的垂直平分线有且只有一个交点. 这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆 是唯一的 ) 板书： 定理 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 （学生解释“确定”含义：有且只有，即存在又唯一）、过同一直线上的三点能不能作圆呢？我们不妨试试看学生用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆来， 实践的结果是不能作圆点 O 在线段AB 的垂直平分线上， 并且在线段BC 的垂直平分线上，即点O 为 两条垂直平分线 的交点，而在这里，这两条线是平行的，所以没有交点，也就没 有符合条件的圆心，从而这样的圆也就不存在了。解决初始问题。（幻灯片）（学生口述解决方法）方法 : （1）在圆弧上任取三点A、B、C，连结 AB 、AC 。（2）分别做 AB 、AC的垂直平分线，交于点O 。（3）连结 OA ，以点 O为圆心， OA为半径画圆即可。O即为所求。思考：经过三角形的三个顶点是否可以作圆？由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理 可知，经过三角形三个顶点可以作圆且只能作一个圆介绍有 关概念： (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶 点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角 形 (2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外 心 . 由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是三角形三边垂直平 分线的交点它到三角形三个顶点的距离相等。(3) 三角形的外心的位置与三角形的形状的关系三角形的外心的位置与三角形的形状有什么关系？它一定在三 角形的内部吗？画图说明。画图说明（分组完成，比赛哪一组最 快）1、比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？锐角三角形的外心在三角形的内部；钝角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形的外心在斜边的中点处。2、图二中，若AB=3 ，BC=4 ，则它的外接圆半径是多少？（2.5 ）某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物园 B和人工湖 C包括在内， 又要使这个圆形的面积最小，请你 给出这个公园的施工图。（A、B、C不在同一直线上） （幻 灯片）练习：（根据学情灵活掌握追求实效）1、判断：（1）经过三点一定可以作圆。（ ）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。 （ ）（3）三角形的外心到三边的距离相等。（ ）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内。（ ）2、下列命题不正确的是（ C ）A.过一点有无数个圆 . B.过两点有无数个圆 . C.弦是圆的一部分 . D.过同一直线上三点不能画圆. 3、三角形的外心具有的性质是（ B ）A.到三边的距离相等 . B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形的外 . D.外心在三角形内 . 通过本课的学习，你有什么收获？（学生回答）（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一 确定。（2）经过一个已知点能作无数个圆！（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上。（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（5）外接圆，外心的概念。作业P152 习题 A、B组板书设计：过三点的圆一、 过不在同一直线上的三点作圆定理：不在同一直线上的三点确定一个圆二、 过三角形的三个顶点作圆 三、 三角形的外接圆、外心