1小专题小专题( (八八) ) 教材教材 P90P90 习题第习题第 1414 题的变式与应用题的变式与应用【例】 (人教版九年级上册教材第 90 页第 14 题)如图，A，P，B，C 是O 上的四个点， APCCPB60，判断ABC 的形状，并证明你的结论1 1如图，延长 BP 至 E，若EPACPA，判断ABC 的形状并证明你的结论2 2如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，DBDC.求证：AD 是ABC 外角EAC 的平分线3 3如图，A，P，B，C 是半径为 8 的O 上的四点，且满足BACAPC60. (1)求证：ABC 是等边三角形； (2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD.4 4如图，ABC 内接于O，P 为弧 AB 上异于 A，B 两点的一动点时，当ABC 满足什么条件时，PA 能否平分 BPC 的外角CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由5 5(1)如图 1，ABC 内接于O，AD 为BAC 的平分线，过 D 作 DE 垂直于 AB 于 E，AE 与ABC 的两边 AB，AC 有 怎样的关系呢？ (2)如图 2，若 AD 为ABC 的外角CAG 的平分线时，AE 与ABC 的两边 AB，AC 又有怎样的关系呢？6 6如图，平面直角坐标系中，O为 y 轴上一点，O交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点直线 AE 交 O于 F 点，连接 FC.过 C 作 CH 垂直 AF 交其延长线于 H.试问：当点 F 在弧 AC 上运动时，FBFA 与 FH 的比值是 否为定值？并说明理由27 7如图，ABC 的三个顶点均在O 上，BAC 与ABC 的平分线相交于点 I，延长 AI 交O 于点 D，连接 BD，DC. (1)求证：BDDCDI； (2)若O 的半径为 10 cm，BAC120，求BDC 的面积参考答案 例 证明：因为APCABC，CPBBAC， 又因为APCCPB60.所以ABCBAC60. 于是ACB60.所以ABC 为等边三角形 1.1.ABC 是等腰三角形，理由：因为CPAABC，四边形 APBC 是圆内接四边形，所以EPAACB.因为 EPACPA，所以ACBABC.所以 ABAC.故ABC 是等腰三角形 2.2.证明：四边形 ABCD 是O 的内接四边形， DCBDAB180.又 DAEDAB180， DCBEAD. DBDC， DBCDCB. DBCDAC， DACEAD. AD 平分EAC. 3.3.(1)证明：ABCAPC60，BACAPC60， ABCBAC60. ABC 是等边三角形 (2)连接 OB、OC.可得BOC2BAC260120. OBOC，OBDOCD (180120)30.1 2ODB90，OD OB4. 1 24.4.当 ABAC 时，PA 平分BPC 的外角CPE.理由： ABAC， ABCACB，又APEAPB180，ACBAPB180， APEACB.又APCABC， APEAPC.即 ABAC 时，PA 平分BPC 的外角CPE. 5.5.(1)AE (ABAC)1 2理由：在 AB 上截取 AFAC，连接 BD、CD、FD. FADCAD，ADAD， FADCAD.于是 FDCD.又BDCD，3FDBD.在 RtBDE 与 RtFDE 中，DEDE， RtBDERtFDE.于是 BEFE. AEABBE， AEAFFE. 得 2AEABAC，AE (ABAC)1 2(2)当 AD 为外角CAG 的平分线时，AE (ACAB)1 2理由：作 DFAC 于点 F. AD 为CAG 的平分线，DEAB，所以 DEDF，又DCBGADDACDBC. DBDC.EBDFCD. BECF.易证EADFAD， AEAF.ACABAFCF(BEAE)AFCFBEAE2AE.即 AE (ACAB) 1 26.6.过 C 作 CM 垂直 FB 于 M， 直径 CDAB，.于是 ACBC，ACBCEFCCBACABCFB.从而 FC 为EFB 的平分线 CHFE，CMFB， CHCM. 又FCFC，RtCHFRtCMF. FHFM，CHCM，于是ACHBCM. AHBM.从而 FBFA(FMMB)(AHHF)(MBAH)(FMFH)2FH. FBFA 与 FH 的比值是 2. 7.7.(1)证明：AI 平分BAC， BADDAC， BDDC. BI 平分ABC， ABICBI. BADDAC，DBCDAC， BADDBC.又 DBIDBCCBI，DIBABIBAD， DBIDIB. BDI 为等腰三角形 BDID， BDDCDI.(2) BAC120，AD 平分BAC， BADDAC60. DBCDAC60. BDDC， BDC 为等边三角形过点 D 作 DHBC，交 BC 于 H，所以 DH 过圆心，HDC30，HCO30.连接 OC.则OH OC 105(cm)在 RtOHC 中，利用勾股定理可得 CH5(cm)由垂径定理可1 21 2CO2HO2102523得 BC2CH10 cm.3SBDC1575(cm2)答：BDC 的面积为 75 cm2.10 3233