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1小专题小专题( (八八) ) 教材教材 P90P90 习题第习题第 1414 题的变式与应用题的变式与应用【例】 (人教版九年级上册教材第 90 页第 14 题)如图,A,P,B,C 是O 上的四个点, APCCPB60,判断ABC 的形状,并证明你的结论1 1如图,延长 BP 至 E,若EPACPA,判断ABC 的形状并证明你的结论2 2如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,DBDC.求证:AD 是ABC 外角EAC 的平分线3 3如图,A,P,B,C 是半径为 8 的O 上的四点,且满足BACAPC60. (1)求证:ABC 是等边三角形; (2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD.4 4如图,ABC 内接于O,P 为弧 AB 上异于 A,B 两点的一动点时,当ABC 满足什么条件时,PA 能否平分 BPC 的外角CPE.若能,请证明,若不能,请说明理由5 5(1)如图 1,ABC 内接于O,AD 为BAC 的平分线,过 D 作 DE 垂直于 AB 于 E,AE 与ABC 的两边 AB,AC 有 怎样的关系呢? (2)如图 2,若 AD 为ABC 的外角CAG 的平分线时,AE 与ABC 的两边 AB,AC 又有怎样的关系呢?6 6如图,平面直角坐标系中,O为 y 轴上一点,O交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于 C,D 两点直线 AE 交 O于 F 点,连接 FC.过 C 作 CH 垂直 AF 交其延长线于 H.试问:当点 F 在弧 AC 上运动时,FBFA 与 FH 的比值是 否为定值?并说明理由27 7如图,ABC 的三个顶点均在O 上,BAC 与ABC 的平分线相交于点 I,延长 AI 交O 于点 D,连接 BD,DC. (1)求证:BDDCDI; (2)若O 的半径为 10 cm,BAC120,求BDC 的面积参考答案 例 证明:因为APCABC,CPBBAC, 又因为APCCPB60.所以ABCBAC60. 于是ACB60.所以ABC 为等边三角形 1.1.ABC 是等腰三角形,理由:因为CPAABC,四边形 APBC 是圆内接四边形,所以EPAACB.因为 EPACPA,所以ACBABC.所以 ABAC.故ABC 是等腰三角形 2.2.证明:四边形 ABCD 是O 的内接四边形, DCBDAB180.又 DAEDAB180, DCBEAD. DBDC, DBCDCB. DBCDAC, DACEAD. AD 平分EAC. 3.3.(1)证明:ABCAPC60,BACAPC60, ABCBAC60. ABC 是等边三角形 (2)连接 OB、OC.可得BOC2BAC260120. OBOC,OBDOCD (180120)30.1 2ODB90,OD OB4. 1 24.4.当 ABAC 时,PA 平分BPC 的外角CPE.理由: ABAC, ABCACB,又APEAPB180,ACBAPB180, APEACB.又APCABC, APEAPC.即 ABAC 时,PA 平分BPC 的外角CPE. 5.5.(1)AE (ABAC)1 2理由:在 AB 上截取 AFAC,连接 BD、CD、FD. FADCAD,ADAD, FADCAD.于是 FDCD.又BDCD,3FDBD.在 RtBDE 与 RtFDE 中,DEDE, RtBDERtFDE.于是 BEFE. AEABBE, AEAFFE. 得 2AEABAC,AE (ABAC)1 2(2)当 AD 为外角CAG 的平分线时,AE (ACAB)1 2理由:作 DFAC 于点 F. AD 为CAG 的平分线,DEAB,所以 DEDF,又DCBGADDACDBC. DBDC.EBDFCD. BECF.易证EADFAD, AEAF.ACABAFCF(BEAE)AFCFBEAE2AE.即 AE (ACAB) 1 26.6.过 C 作 CM 垂直 FB 于 M, 直径 CDAB,.于是 ACBC,ACBCEFCCBACABCFB.从而 FC 为EFB 的平分线 CHFE,CMFB, CHCM. 又FCFC,RtCHFRtCMF. FHFM,CHCM,于是ACHBCM. AHBM.从而 FBFA(FMMB)(AHHF)(MBAH)(FMFH)2FH. FBFA 与 FH 的比值是 2. 7.7.(1)证明:AI 平分BAC, BADDAC, BDDC. BI 平分ABC, ABICBI. BADDAC,DBCDAC, BADDBC.又 DBIDBCCBI,DIBABIBAD, DBIDIB. BDI 为等腰三角形 BDID, BDDCDI.(2) BAC120,AD 平分BAC, BADDAC60. DBCDAC60. BDDC, BDC 为等边三角形过点 D 作 DHBC,交 BC 于 H,所以 DH 过圆心,HDC30,HCO30.连接 OC.则OH OC 105(cm)在 RtOHC 中,利用勾股定理可得 CH5(cm)由垂径定理可1 21 2CO2HO2102523得 BC2CH10 cm.3SBDC1575(cm2)答:BDC 的面积为 75 cm2.10 3233
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