1第二十六章第二十六章 解直角三角形解直角三角形1.理解锐角三角函数的概念,并能通过实例进行说明. 2.能推导并熟记 30,45,60角的三角函数值,并能解决含有 30,45,60角的 三角函数值的计算. 3.能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出 相应的锐角. 4.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形. 5.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题,并能对相关知识进行综合应用.1.通过探究锐角正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培 养学生的归纳推理能力. 2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,培养学生观察、比较、分析、概括等逻 辑思维能力. 3.通过在直角三角形中探究三角函数与边长、角之间的数量关系,培养学生从已有的知 识、特殊图形中去感知、迁移. 4.综合运用所学知识解决和直角三角形有关的计算,逐步提高学生分析问题、解决问题 的能力,培养学生思维能力的灵活性. 5.经历从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知 识解决实际问题的能力,进一步感受数形结合思想在数学中的应用.1.通过引导学生参与体验数学活动,让学生学会用数学思维方式思考、发现问题,提高 数学思维能力.同时体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神. 2.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功 的快乐. 3.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建 立自信心. 4.在探索直角三角形中边角关系的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识 的能力和良好的学习习惯. 5.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,调动学生学习数学的积极性和主动 性,培养学生认真思考等学习习惯,形成事实求是的科学态度.本章锐角三角函数是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内容,是初中 阶段研究三角形部分的最后阶段,主要研究锐角三角函数的概念、求锐角三角函数的值,以2及锐角三角函数的简单应用.它是在学习了函数、相似三角形的基础上,对直角三角形中边 角之间的关系的进一步研究,属于三角学中的最基础的内容,而高中阶段的三角内容是三角 学的主体部分,所以本章的学习是为高中数学中三角函数等知识的学习做好准备. 本章内容是在前面研究了直角三角形中勾股定理、两个锐角之间的关系的基础上,进一 步研究边角之间的关系,本章中只有正确了解锐角三角函数的概念,才能真正理解直角三角 形中边角之间的关系,从而利用这些关系来解直角三角形,这样才能把直角三角形的判定、 性质、作图与直角三角形中边角之间的数量关系统一起来.锐角三角函数为解直角三角形提 供了有效的工具,解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用,这也为锐角三角函数提供了 与实际联系的机会,研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论,解直角三角形 主要依据锐角三角函数和勾股定理等内容,因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的基础.通 过本章的学习,使学生全面掌握直角三角形的组成元素之间的关系,并综合运用已学知识解 决与直角三角形有关的度量问题,进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模思想. 本章重点是锐角三角函数的概念、解直角三角形及三角函数的简单应用.通过研究直角 三角形中各元素之间的关系,并把这种关系用数量关系的形式表示出来,使学生经历数学抽 象的过程,通过本章的学习,使学生进一步感受数形结合的思想,体会数形结合的方法.直角 三角形中边角之间的关系在解决实际问题中有着重要的作用,现实生活中距离、高度、角度 等计算问题,常常应用到解直角三角形的知识,使学生进一步感受数学建模思想在实际生活 中的应用.【重点】 正弦,余弦,正切概念、特殊角的三角函数值、会解直角三角形、能利用三 角函数有关知识解决实际问题. 【难点】 把实际问题转化为直角三角形中的问题,并通过锐角三角函数解决问题.1.组织学生积极参与课堂教学活动,根据问题情境,让学生在独立思考的基础上,鼓励学 生在小组间通过合作与交流的方式解决问题. 2.关于锐角三角函数概念的教学,应注重创设符合学生实际的问题情境,从实际问题出 发,让学生经历建立概念的过程,使学生感受数学与现实的联系. 3.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,鼓励学生有条理地进行思 考和表达.在观察、操作和推理的过程中,使学生有意识地反思其中的数学思想方法. 4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众 不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望. 5.关于锐角三角函数求值的教学,应以实际操作为主,通过求函数值,使学生加深对锐角 三角函数概念的理解,让学生初步感受到锐角三角函数值随角度的变化而变化. 6.对于锐角三角函数的应用,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后把实际问题转 化为数学问题.同时,应注重数形结合思想方法的渗透,引导学生逐步从对具体问题的研究中 提炼出思想方法.26.1 锐角三角函数2 课时26.2 锐角三角函数的计算1 课时26.3 解直角三角形1 课时26.4 解直角三角形的应用1 课时3回顾与反思1 课时26.1 锐角三角函数1.经历正切、正弦、余弦概念建立的过程,理解三角函数的意义. 2.经历探索 30,45,60角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,并能根据这些 值说出对应的锐角度数. 3.能熟练地计算含有 30,45,60角的三角函数的代数式的值. 4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算.1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会 现实生活与数学的联系. 2.通过探究锐角正弦、余弦、正切概念的形成,养成善于观察、勤于思考的良好习惯, 培养学生的归纳推理能力. 3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养 学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力. 4.通过推导特殊角的三角函数值,学会综合运用数学知识解决问题的能力.1.学生通过问题情境经历三角函数概念的形成过程,培养学生积极思考,勇于探索的精 神. 2.通过思考、发现、总结、验证等数学活动,提高学生数学思维能力. 3.通过主动探究,合作交流,增强学生的合作意识,培养学生团队意识,同时让学生体验 成功的快乐. 4.在探索与三角函数有关的知识过程中,学生通过观察、操作获取知识,锻炼克服困难 的意志,建立自信心.【重点】 理解各三角函数的意义,会求锐角的各三角函数值;熟记 30,45,60角 的三角函数值,能熟练地计算含有 30,45,60角的三角函数的代数式的值. 【难点】 探索各三角函数值的概念;30,45,60角的三角函数值的推导过程.第课时41.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固 定值,引出正切的概念. 2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算. 3.会计算特殊角的正切值.1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会 现实生活与数学的联系. 2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成 善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力.1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考, 勇于探索的精神. 2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐.【重点】 理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值. 【难点】 理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值.【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P104106.导入一: 【课件展示】 如图所示,小明在距旗杆 4.5 m 的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(AOC)为 50;俯视旗杆底部B,俯角(BOC)为 18.旗杆的高约为多少米?5【师生活动】 教师展示章前页问题情境并简单说明,学生观察图示,教师引出本章课 题. 导入语 通过测量仰角、俯角及小明与旗杆的距离,应用以前学过的数学知识,我们 还不能求出旗杆的高度.通过本章的学习,你将能够解决这个问题. 导入二: 复习提问: 1.直角三角形有哪些特殊性质? 2.有一个锐角是 30的直角三角形有什么特殊性质? 3.有一个锐角是 45的直角三角形有什么特殊性质? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评. 导入三: 【课件展示】 如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东 35的方向上.轮船 向东航行 5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两 位小数)教师提问: 该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段? (事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在 RtABC中,已知C=90,BAC=55,AC=5 km,求 BC长度的问题) 【师生活动】 教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评.过渡语 解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系,即锐角三角 函数,今天我们学习第一种锐角三角函数锐角的正切.设计意图 通过章前页问题情境提出如何求得旗杆高度,让学生认识到本章将要学习 的主要内容,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知 识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入三中把实际问题转化为数学问题,让学生初 步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系.共同探究 直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值 【课件展示】 如图所示,在 RtABC中和 RtABC中,C=C=90.当A=A时,与具有怎样 的关系?6思路一 教师引导思考: (1)如何证明线段成比例? (三角形相似) (2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?(A=A,C=C=90,RtABCRtABC) (3)由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗?RtABCRtABC,即(4)你能用语言叙述这个结论吗? (当锐角A确定时,A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关) 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评. 思路二 教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进 行分析指导,对学生的展示进行点评. 解:. 理由:A=A,C=C=90, RtABCRtABC. ,即. 追问:你能用语言叙述这个结论吗? 【师生活动】 学生尝试叙述结论,教师归纳完整. 结论:当锐角A确定时,A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关.过渡语 在上图中的两个直角三角形中,相等的角所对的直角边与邻边的比值是相等 的,在下图中,上述结论是否还正确呢? 【课件展示】如图所示,已知EAF0)且 sin A=,求 cos A. 【答案与解析】 1.D(解析:cos =,设的邻边为k,斜边为 10k,由勾股定理可得的对边为 =3k,sin =.故选 D.)2.C(解析:过点A向BC引垂线,与BC的延长线交于点D.设正方形的边长为 1,在 RtABD中, AD=2,BD=4,AB=2,sinABC=.故选 C.)223.A(解析:在 RtABC中,根据勾股定理可得AB=3.B+BCD=90,ACD+BCD=90, B=ACD,sinACD=sin B=.故选 A.) 4.75(解析:由=0,得 cos A-=0,sin B-=0,cos A=,sin B=,A=60,B=45,又 A+B+C=180,C=75.故填 75.) 5.80(解析:依题意知,在菱形ABCD中