第21讲 动态规划,投资分配问题,ACM算法设计与分析王建芳,投资分配问题,现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n 个工厂,用于扩大再生产。假设：xi 为分配给第i 个工厂的资金数量（万元）；gi(xi)为第i 个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。问题：如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。,据此，有下式：,令：fk(x) 表示以数量为x 的资金分配给前k 个工厂，所得到的最大利润值。用动态规划求解，就是求 fn(a) 的问题。,当 k=1 时， f1(x) = g1(x) （因为只给一个工厂）,当1kn 时，其递推关系如下：设：y 为分给第k 个工厂的资金（其中 0y x ），此时还剩 x y（万元）的资金需要分配给前 k1 个工厂,如果采取最优策略，则得到的最大利润为fk1(xy) ,因此总的利润为：gk(y) fk1(xy),投资分配问题,如果a 是以万元为资金分配单位，则式中的y 只取非负整数0，1，2，x。上式可变为：,所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：,投资分配问题,设国家拨给60万元投资，供四个工厂扩建使用，每个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后的利润函数如下表所示。,依据题意，是要求 f4(60) 。,投资分配问题,按顺序解法计算。 第一阶段：求 f1(x)。显然有 f1(x) g1(x)，得到下表,第二阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,投资分配问题,最优策略为（40，20），此时最大利润为120万元。,同理可求得其它 f2(x) 的值。,投资分配问题,最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。,投资分配问题,最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。,最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。,投资分配问题,最优策略为（10，0）或（ 0 ， 10 ） ，此时最大利润为20万元。,f2(0) 0。最优策略为（0，0），最大利润为0万元。得到下表,最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。,投资分配问题,第三阶段：求 f3(x)。此时需考虑第一、第二及第三个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,投资分配问题,最优策略为（20，10，30），最大利润为155万元。,同理可求得其它 f3(x) 的值。得到下表,投资分配问题,第四阶段：求 f4(60)。即问题的最优策略。,投资分配问题,最优策略为（20，0，30，10），最大利润为160万元。,投资分配问题,THANKS,