函数极限的概念 函数极限的性质与运算法则 两个重要极限,第三节 函数的极限,作业:P51.5(1)(2);6(2)(3);7 (2)(3)(5); 8(单号);9;10 .,第一章 函数 极限 连续,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,第一部分 函数极限的概念,数列极限:,函数极限:,1.定义,几何解释:,x,y,0,-M,M,例1,证,定理1,二、自变量趋向有限值时函数的极限,0,直观定义:,注意：,几何解释:,2.几何解释:,小结:,1.代数解释:,例3,分析,函数在点x=1处没有定义.,证,例4,证：,例5,证,左极限,右极限,单侧极限:,左右极限存在但不相等,例6,证,例7 求,解,故原极限不存在。,例8 设,则,(1)=1; (2)不存在; (3)=2; (4)=e.,定理3（函数极限的归并原理Heine定理）,函数极限与数列极限的关系,1)把数列极限的一些性质用于函数极限,比 如判断函数的极限不存在。,说明:,2)通过求函数的极限来求数列极限。,例9,证,二者不相等,1).唯一性:,第二部分 性质与运算法则,定理4（函数极限的性质）,2).局部有界性:,3).局部保号性:,4).局部保序性:,5).夹逼性:,定理5 (有理运算),为常数；,（可推广到有限个函数的情形）,推论：,解,例10,和的法则不能用！!,(消去零因子法),商的法则不能用!,因此,例11,下列运算错在那？,乘的法则不能用!,解,例12,商的法则不能用,解,例13,(无穷小分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除以分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.,定理6 (复合运算),第三部分 两个重要极限,(1),在实际应用中，常用：,由于 是偶函数,例14,例15,令,例16,例17,例18,令,(2),在实际应用中，常用：,例19,解,例20,解,例21,例22,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,