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三角形(一) 课前复习1. 三边关系定理:三角形两边的大于第三边,两边的小于第三边 . 2. 三角形稳定性,四边形稳定性 . 3. 三角形内角和定理及推论:(1) 内角和定理:三角形三个内角的和等于;(2) 推论 1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的;(3) 推论 2:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角. 4.n 边形内角和等于,多边形的外角和等于. 5. 三角形中位线定理:三角形的中位线第三边,且等于第三边的 . 6. 等腰三角形的性质:(1) 等腰三角形的两个角相等,简单说成:等边对等;(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互,简单说成:三线合一. 7. 等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的也相等,简单说成:等角对等 . 8. 等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 . 9. 等边三角形的判定:(1) 个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角是60的三角形是等边三角形. 10. 直角三角形的性质:(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的;(2)直角三角形斜边上的中线等于的一半;(3)勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 . 11. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是三角形 . 12. 能够完全重合的两个三角形叫做三角形,重合的顶点叫做顶点,重合的边叫做边,重合的角叫做角. 13. 全等三角形的性质:全等三角形的对应边,对应角 . 14. 全等三角形的判定:(1)边边边或SSS :边对应相等的两个三角形全等;(2)边角边或SAS :两边和它们的角对应相等的两个三角形全等;(3)角边角或ASA :两角和它们的边对应相等的两个三角形全等;(4)角角边或AAS :两角和其中一角的边对应相等的两个三角形全等;(5)斜边直角边或HL:斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等. 15. 角的平分线上的点到角的距离相等;线段垂直平分线上的点与这条线段两个的距离相等 . 课题讲解1、相交线与平行线【考点讲解】1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。2.判定:(1)同位角相等,两直线平行。(2)内错角相等,两直线平行。(3)同旁内角相等,两直线平行。(4)垂直于同一直线的两直线平行。3.性质:(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。(2)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(3)两直线平行,同位角相等。(4)两直线平行,内错角相等。(5)两直线平行,同旁内角互补。【典型例题】例 1 如图,已知 AMF= BNG=75 , CMA=55 ,求 MPN 的大小PNMABEFGHCD例 2 如图, 1 与 3 为余角, 2 与 3 的余角互补,4=115, CP 平分 ACM ,求 PCM 【针对性练习】1、如图,已知:1+2=180, 3=78,求 4 的大小2、如图,已知:BAP 与 APD 互补, 1=2,说明: E= F 2、一般三角形的性质【考点讲解】(1)角与角的关系:三个内角的和等于180;一个外角等于和它不相邻的两个内角之和,并且大于任何个和它不相邻的内角。(2)边与边的关系:三角形中任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三边。(3)边与角的大小对应关系:在一个三角形中,等边对等角;等角对等边。(4)三角形的主要线段的性质( 见下表 ) :名称基本性质角平分线三角形三条内角平分线相交于一点(内心);内心到三角形三边距离相等;角平分线上任一点到角的两边距离相等。中线三角形的三条中线相交于一点。高三角形的三条高相交于一点。边的垂直平分线三角形的三边的垂直平分线相交于一点(外心);外心到三角形三个顶点的距离相等。中位线三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。【典型例题】例 1 图中三角形的个数是()A8 B9 C10 D11 例 2 已知四组线段的长分别如下,以各组线段为边,能组成三角形的是( ) Al,2,3 B2,5, 8 C3,4,5 D 4,5,10 例 3 下列图形具有稳定性的有( ) (1)(2)(3)(4)(5)A.只有 (1),(2) B.只有 (2),(3),(4) C.只有 (5),(4) D.(1),(2), (3),(4), (5) 【针对性训练】1、下列各组条件中,不能组成三角形的是( ) A.a+1、 a+2、a+3(a3) B.3cm、8cm、10cm C.三条线段之比为1:2:3 D.3a、5a、2a+1(a1) 2、以长为3cm,5cm,7cm,10cm 的四根木棍中的三根木棍为边,可以构成三角形的个数是()A2 个B3 个C4 个D 5个3、下列由几根木条用钉子钉成如下的模型,其中在同一平面内不具有稳定性的是()A B C D 4、下图能说明 12 的是 ( ) 3、几种特殊三角形的特殊性质【考点讲解】(1)等腰三角形的特殊性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段,这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。(2)等边三角形的特殊性质:等边三角形每个内角都等于60;等边三角形外心、内心合一。(3)直角三角形的特殊性质:直角三角形的两个锐角互为余角;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;勾股定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和(其逆命题也成立) ;直角三角形中, 30的角所对的直角边等于斜边的一半;直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。【典型例题】例1、如图,在 ABC 中, AB=AC , A=36 , BD 是 ABC 的角平分线 . (1) BCD 是等腰三角形吗?请说明理由. ( 2)过 E 作 DEBC,交 AB 于点 D. 若 DB=5 ,求线段DE 的长 . DCBA第( 1)小题第( 2)小题EDCBA例2、如图, ABC 是正三角形, D,E,F 分别是各边上的点,且AD=BE=CF ,则 DEF 是正三角形 .请说明理由 . 例3、如图,点C 为线段 AB 上一点, ACM 与 CBN 都是等边三角形,则AN=BM. 请说明理由 . 【针对性训练】1、在等腰三角形ABC 中, AB=AC. (1)若 A=40,则 B= , C= ;(2)若 B=40,则 A= , C= . 2、 如图,在 ABC 中, AB=AC , AD 是 ABC 的角平分线 .已知 BC=6, B=65, 则 BD= , ADB= ,BAC= . 3、等腰三角形的两边长分别为5cm 和 8cm,则等腰三角形的周长为. 4、等腰三角形的顶角为68,则一腰上的高线与底边的夹角为. 4、三角形的面积 【考点讲解】(1)一般三角形: S = 21a h ( h 是 a 边上的高)(2)直角三角形: S = 21a b = 21c h (a、b 是直角边, c 是斜边, h 是斜边上的高)(3)等边三角形: S = 43a2(a 是边长 )(4)等底等高的三角形面积相等;等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比;等高的三 角形的面积的比等于它们的相应的底的比。FEDCBANMCBABCDA第 2 题图NBCMA第 5 题图【典型例题】例 1、如图 1、在ABCD 中, P为 BC 的中点,过P点作 BC 的平行线交CD 于 Q,连接 PA,PD,QB,QA ,则图中有几个与ABP 面积相等的三角形?解题思路:运用平行线中点的性质,由大平行四边形分成相等的小平行四边形,再用三角形的面积公式即可证明。【针对性训练】1、如图,在梯形ABCD 中, AD BC,AEBD ,ECAB ,求证 SABE=SDBC2、从 ABC 各顶点作平行线AD BEFC,分别对边或其延长线交于D,E,F,求证: SDEF=2SABC 5、 全等三角形 【考点讲解】 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形,全等三角形的对应角相等,对应边相等,其他的 对应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理: 一般三角形有 SAS 、ASA 、AAS 、SSS ; 直角三角形还有HL 【典型例题】例 1、如图,已知,AD 平分 BAC ,DBAB于 B,DC AC于 C,E在 AD上。求证: EB=EC。A M N D Q C B P A D E F E B D C A A B C D E 例 2、如图, ABC 中, AD 是 BAC 的平分线, AC=AB+BD 。求证: B=2C。例 3、如图,已知AD 是 BAC 的平分线,且又是BC 是中线,求证:AB=AC 。【针对性训练】1、如图, AD 是 BAC 的角平分线,点E 是 AD 上任意一点,且有BE=CE 。求证: AB=-AC 2、如图, ADBC , 1=2, 3=4,直线 DC 过点 E 交 AD 于点 D,交 BC 于点 C。求证: AD+BC=AB 3、如图, E 为正方形ABCD 中一点,且 EDC= ECD=1 5,那么 EAB是什么样的三角形,说明理由。B D E C A B C D A B C D A 1 2 3 4 A B C D E A B C D E 4、如图, D 是 AC 上一点, BEAC ,BE=AD ,AE分别交 BD、BC于 F、G , 1=2。(1)求证: FAD FBE ;(2)求证:2BFFG EF=课后练习:1三角形中到三边距离相等的点是()A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点2两个三角形有两个角对应相等,正确说法是()A两个三角形全等B如果还有一角相等,两三角形就全等C两个三角形一定不全等D 如果一对等角的角平分线相等,两三角形全等3 如图,在 ABC中,AB=AC ,AD BC于 D点,E、F 分别为 DB 、DC的中点,则图中共有全等三角形_对4已知 ABC ABC ,若 ABC 的面积为 10 cm2,则 ABC 的面积为 _ cm2,若ABC的周长为 16 cm,则 ABC的周长为 _cm 5. 如图, OA OB ,OC OD ,O 50, D 35,则 AEC 等于()A60 B 50 C 45 D30O E A B D C 1 2 A B C D F G E
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