10023# 实变函数与泛函分析初步试题第 1 页 共 2 页浙江省 2007年 10 月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码： 10023一、单项选择题(本大题共3 小题，每小题4 分，共 12 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知 Z 和 Q 分别为整数集和有理数集，记A=0，1-Q，则 ( ) AZQAB. ZQAC. ZQAD. ZQA2.若 A=0,1- 31,21, 1， ,B= 2,3 Q,C=5,6-Q,则 ABC 的测度为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无意义3.设 f(x)=其他, 13, 1,11 ,0,22xxQxx Q,则，80f(x)dx=( ) A.0 B.1 C.2 D.8 二、判断题（本大题共6 小题，每小题2 分，共 12 分）。4.集列的上限集与下限集一定不相等.( ) 5.开集一定是博雷尔（Borel）集 .( ) 6.设 ER1， E 是 E 的闭包， mE=0，则 m( E )=0.( ) 7.设 f(x) 在0，1的一个稠密集上处处不连续，则 f(x)一定不是Riemann 可积函数 .( ) 8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( ) 9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( ) 三、填空题 (本大题共 10 小题，每小题4 分，共 40 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。10.设 A2n-1=(0,sin n1)，A2n=( n1,n),则集列 An的上限集为 _. 10023# 实变函数与泛函分析初步试题第 2 页 共 2 页11.球面 S2= （x,y,z)|x2+y2+z2=1的基数为 _. 12.设 F=(x,y)|x2+y21,E=F )1 ,0(,1sin|),(xxyyx， 则 E 的开核 E=_. 13.记 E 为康托集和有理数集的并集，则mE=_. 14.设函数 f(x)在 0，1上单调， E 是 f(x) 的连续点全体，则mE=_. 15.f(x) 是可测集 E 上的简单函数是指_. 16.函数 f(x) 在区间 a,b上的黎曼可积的充要条件是_. 17.f(x) 与 g(x)在 E 上几乎处处相等是指_. 18.举一个函数列fn(x) 的例子，使得 fn(x) 在 0,)上处处收敛于0，但 fn(x) 在 0,)上不依测度收敛于0，例如 fn(x)=_. 19.区间 a,b上的函数F(x)是 f(x) 的一个不定积分是指_ _. 四、完成下列各题(本大题共4 小题，每小题9 分，共 36 分) 20.设f(x) 是 (- ,+ )上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E=x|f(x)a 是开集，而F=x|f(x) a总是闭集 . 21.设 E 是 0,1中的不可测集，令f(x),ExxExx ，问 f(x) 和|f(x)|在 0,1上是否可测？为什么？22.设 f(x) 在 E 上可积分，记en=E|f|n ，证明0limnnmen.