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1,第 讲,8,指数式与对数式,第二章 函数,2,3,一、根式 xn=a (nN*,n1) x= , n为奇数 x= ,n为偶数 (a0);; ;a(n为奇数)|a|(n为偶数).,4,二、分数指数幂; . (a0,m,nN*,且n1). 三、分数指数幂的运算性质 1.aras= (a0,a1). 2. (ar)s= (a0,a1). 3. (ab)r= (a0,a1).,ar+s,ars,arbr,5,四、指数、对数互化 1. ab=N . 2. alogaN= .,五、对数的运算性质 1. logaM+logaN= . 2. logaM-logaN= . 3. logaMn= . 4. 换底公式 .,logaN=b,N,loga(MN),nlogaM,6,1.化简 的结果是( ) A. 6a B. -a C. -9a D. 9a故选C.,7,2.已知 则 .3.方程4x+2x-2=0的解是x= .4x+2x-2=0(2x-1)(2x+2)=02x=1x=0.,3,0,8,题型一:指数、根式的化简与求值运算 1. (1)计算 (2)化简:,9,(1)原式,10,(2)原式,11,点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序.,12,化简 (其中a0,且b0).原式,13,题型二:对数化简、求值运算 2. 化简下列各式: (1)(1-log63)2+log62log618log64; (2)(log32+log92)(log43+log83); (3),14,(1)原式=1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+ log63)log64 =(2-2log63)2log62 =(1-log63)log62 =(log66-log63)log62 =log62log62=1.,15,(2)原式(3)原式,16,点评:对数运算是高中代数运算中的一个难点,解决这一难点,一是理解对数运算的意义,注意指数运算与对数运算的互逆性;二是熟练掌握对数运算法则.,17,化简原式,18,题型三:指数、对数互化 3. (1)已知2a=5b=10,求 的值;(2)已知log83=a,log35=b,求lg5的值.,19,(1)由已知所以 (2)由已知8a=3,3b=5 (8a)b=5, 即23ab=5 3ablg2=lg5, 即3ab(1-lg5)=lg5, 所以,20,点评:求指数值的问题,一般是转化为对数,利用对数来处理指数问题,对底数不同的对数运算时,注意利用换底公式化为同底数的对数进行运算.,21,已知 求 的值. 由已知 得 所以 所以,22,1. 指数的乘、除运算和对数的加、减运算,一般要求在同底数状态下进行,所以在进行此类运算时,先要将指、对数化为同底数.,23,2. 指数与对数是对立统一的,利用关系“ab=N logaN=b (a0,a1,N0)”可将指数与对数相互转化.对某些指数式关系,若指数运算不方便,可取对数转化为对数运算;对某些对数式关系,若对数运算不方便,可去对数符号转化为指数运算.,24,3. 在一定条件下求指、对数式的值,或求参数字母的值,要注意利用方程思想求解,即通过已知条件建立一个关于所求对象的方程(组),再通过解方程(组)求未知数的值.,25,第 讲,9,指数函数与对数函数(第一课时),第二章 函数,26,27,28,1.指数函数的概念:一般地,函数 (a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量. 2. 指数函数的图象和性质:,y=ax,29,R,R,(0,+),(0,+),R上的增函数,R上的减函数,30,3. 对数函数的概念:一般地,函数 (a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量. 4. 对数函数的图象和性质:,y=logax,31,当x1时,y0; 当x=1时,y=0; 当0x1时,y0.,当x0时,0y1; 当x=0时,y=1; 当x0时,y1.,(0,+),(0,+),R,R,在(0,+)上是增函数,在(0,+)上是减函数,32,1.设y1=40.9,y2=80.48, 则( ) A. y3y1y2 B. y2y1y3 C. y1y2y3 D. y1y3y2y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5 y1y3y2, 故选D.,D,33,2.设a=lge,b=(lge)2,c=lge,则( ) A. abc B. acb C. cab D. cba0b0,ac0. 又 所以acb,故选B.,B,34,3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( ) A.log2x B. C. D. 2x-2,35,函数y=ax(a0,且a1)的反函数是f(x)=logax. 又f(2)=1, 即loga2=1, 所以a=2, 故f(x)=log2x, 故选A.,答案:A,36,题型一:指数函数、对数函数的图象 1. 函数y=ax+b与函数y=ax+b(a0且a1)的图象有可能是( ),37,由a0知直线的斜率大于0, 可以排除A、C, 由选项B中的直线在y轴的截距b0知, B中的指数函数的图象错,故选D.,答案:D,38,点评:解决有关函数的图象问题,一是对基本函数的图象的形状要熟记,如指数函数、对数函数等图象的形状;二是注意系数的符号及大小对图象的影响;三是注意图象的特殊位置、特殊点,如在y轴上的截距等.,39,若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a0,且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .,40,当a1时,如图易知直线y=2a与曲线y=|ax-1|有一个公共点.,41,同理,当 时, 同样作出图象, 可知只有一个交点. 当 时, 可知有两个交点. 故a的取值范围是,答案:,42,题型二:利用指数函数、对数函数的性质比较大小 2. 比较下列各组数中数的大小: (1) (2)log1.10.7与log1.20.7; (3)60.7,0.76,log0.76.,43,(1)取中间量 因为 所以 又 是减函数, 所以 故,44,(2)因为 所以 因为y=lgx是增函数, 所以lg1.2lg1.10, 故 即 又log1.20.70, 所以log1.10.7log1.20.7.,45,(3)60.71,00.761,log0.760, 所以log0.760.7660.7.,点评:由指(对)数函数的性质比较指(对)数式的大小,一般是有三种类型,一是底数相同,指数不同,可直接根据对应函数的单调性进行比较;二是指数相同,底数不同,可根据图象与垂直y轴的直线的交点来比较;三是指数、底数都不同,可借助于构造一个中间数来进行比较,如第(1)小题.,46,比较下列各组数中两个数的大小: (1) (2)log1.12.3与log1.22.2.,47,(1)取中间量 因为 是增函数, 所以 又所以 故,48,(2)取中间量log1.12.2, 因为y=log1.1x是增函数, 所以log1.12.3log1.12.2. 又所以log1.12.3log1.22.2.,49,题型三:简单的指数、对数型不等式 3. (1)若则a的取值范围是 .(2)已知f(x)=logax是减函数,则不等式a2x-3ax+20的解集是 .,50,(1)当a1时, 由函数f(x)=logax是增函数可得 当0a1时,由函数f(x)=logax是减函数及 得 综合可得,答案:,51,(2)由f(x)=logax是减函数知0a1. 又由a2x-3ax+20(ax-1)(ax-2)01ax2, 得loga2x0. 故填(loga2,0).,(loga2,0).,答案:,52,点评:与指数及对数有关的不等式的解法,一是直接根据函数的单调性转化得到相应的不等式,如第(1)小题;二是利用整体代换,把整个指(对)数式先看成一个整体,按解不等式的常用方法求得整体式子的范围,然后由指(对)数函数的特点求得最后的解集,如第(2)小题就是先把ax看成一个整体式子.,53,解下列不等式: (1)(x-2)lg3+lg(10-3x)0; (2)logaxlogxa (a0,且a1,为常数).,54,(1)不等式可化为lg3x-2(10-3x)03x-2(10-3x)1, 即(3x)2-103x+90, 即(3x-1)(3x-9)0,所以13x9, 即303x32,所以0x2. 故不等式的解集是(0,2).,55,(2)不等式可化为 即 所以logax(logax-1)(logax+1)0 -1logax0或logax1. 所以,当a1时,解集为 当0a1时,解集为,56,1. 比较两个指、对数式的大小,常用作差、作商或引入中间量来比较;若底数相同,则可利用指数函数和对数函数的单调性来比较. 2. 解指数、对数不等式,一般将不等式两边化为同底数的指、对数形式,再利用单调性转化为简单不等式求解.但去对数符号后,一定要添加真数大于0的条件.,
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