Chapter 4(1),正交矩阵与正交变换,教学要求：,1. 了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的性质.,1. 定义,2. 性质,Proof.,ex1. 下列矩阵是不是正交矩阵：,Solution.,是,不是,Proof.,Method1.,正交化,单位化,Method2.,单位化,定义. 若P为正交矩阵, 则线性变换y=Px称为正交变换.,定理. 正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间的内积及夹角.,Proof.,The end,Chapter 4(2),方阵的特征值与特征向量,教学要求：,1. 理解方阵的特征值和特征向量的概念及性质;,2. 会求方阵的特征值和特征向量.,定义.,注意,Proof.,Proof.,推广:,Proof.,类推之, 有,把上述各式合写成矩阵形式，得,注意,(1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的,(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,也就是含有n个未知数n个方程的方程组有非0解.,由此可求得特征值.,求特征值与特征向量的步骤:,Solution.,Solution.,注意:,有非0解.,结论1.,方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数.,结论2.,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素.,结论3.,结论4.,结论5.,若 是矩阵 A的特征值, x是 A的属于 的特征 向量, 则,Proof.,(5) 类似可证,Solution.,Solution.,Proof.,法1.,法2.,法3.,法4.,ex6. 设A是 阶方阵，其特征多项式为,Solution.,Proof.,?,思考题,Solution.,The end,Chapter 4(3),相似矩阵与矩阵对角化,教学要求：,了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的充要条件.,1. 定义,2. 性质,反之不一定成立!,Proof.,定理1.,Proof.,注意P与的对应写法!,结论1.,若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则A与对角阵相似.,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化,结论2.,结论3.,实对称矩阵一定可对角化.,Solution.,ex3. 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,Solution.,=其代数重数.,因而A可对角化.,=其代数重数.,故 不能化为对角矩阵.,A能否对角化？若能对 角化,则求出可逆矩阵P,Solution.,得基础解系,所以 可对角化.,得基础解系,注意,即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,且知A有一特征值为1, 求x的 值及A的其它特征值, 并判断 A是否能与对角阵相似？,Solution.,Solution.,The end,Chapter 4(4),实对称矩阵的对角化,教学要求：,掌握实对称矩阵的性质;,2. 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法.,1.实对称矩阵的特征值为实数.,Proof.,2.实对称矩阵的特征向量为实向量.,3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征向量是正交的.,Proof.,于是,4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等.,定理.,利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,Solution.,求得基础解系,正交化,单位化,求得基础解系为,单位化,Proof.,故存在正交矩阵Q使,Proof.,又由A为实对称矩阵, 故存在正交矩阵Q使,Proof.,故存在正交矩阵Q使,ex5. 见P95/例4.4.2,例4.4.3,思考题1.,Solution.,The end,思考题2.,Solution.,The end,Chapter 4(5),特征值与矩阵对角化习题课,一、内容小结,1. 正交矩阵的定义与性质,3. 相似矩阵的定义与性质,4. 矩阵可对角化的条件,2. 特征值特征向量的定义与性质,5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质,二、题型与方法,2. 判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其与对角阵相似,1. 求特征值特征向量,3. 实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）,Solution.,Solution 1.,或者,Solution 1.,Solution 2.,Solution 3.,Solution.,The end,Chapter 4,特征值与特征向量小结,一、内容小结,2. 相似矩阵的定义与性质,3. 矩阵可对角化的条件,1. 特征值特征向量的定义与性质,4. 正交矩阵的定义与性质,5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质,1. 特征值特征向量的定义与性质,定义.,(1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的,(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,有非0解.,结论1.,方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数.,结论2.,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素.,结论3.,结论4.,结论5.,若 是矩阵 A的特征值, x是 A的属于 的特征 向量, 则,2. 相似矩阵的定义与性质,3. 矩阵可对角化的条件,定理1.,结论1.,若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则A与对角阵相似.,结论2.,结论3.,实对称矩阵一定可对角化.,4. 正交矩阵的定义与性质,若P为正交矩阵, 则线性变换y=Px称为正交变换.,正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间 的内积及夹角.,5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质,(1) 实对称矩阵的特征值为实数.,(2) 实对称矩阵的特征向量为实向量.,(3) 实对称矩阵A对应于不同特征值的特征向量是正交的.,(4) 实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等.,定理.,二、题型与方法,2. 判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其与对角阵相似,1. 求特征值特征向量,3. 实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）,利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,1. 求特征值特征向量,Solution.,Solution.,Proof.,?,2. 判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化,ex4. 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,Solution.,=其代数重数.,因而A可对角化.,=其代数重数.,故 不能化为对角矩阵.,且知A有一特征值为1, 求x的 值及A的其它特征值, 并判断 A是否能与对角阵相似？,Solution.,A能否对角化？若能对 角化,则求出可逆矩阵P,Solution.,得基础解系,所以 可对角化.,得基础解系,Solution.,3. 实对称矩阵的对角化,Solution.,求得基础解系,正交化,单位化,求得基础解系为,单位化,4. 简单证明题及其它,Proof.,Solution.,Solution 1.,或者,Solution 1.,Solution 2.,Solution 3.,Solution.,Solution.(1),(2).,The end,