,第5章 刚体力学基础 动量矩,本章内容：,5.1 刚体和刚体的基本运动,5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,5.4 动量矩和动量矩守恒定律,5.1 刚体和刚体的基本运动,5.1.1 刚体的概念,在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。,特殊的质点系，, 理想化模型,形状和体积不变化,在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变,5.1.2 刚体的平动和定轴转动,1. 刚体的平动,刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行,平动的特点:,刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动,2. 刚体绕定轴的转动,角坐标,描述刚体绕定轴转动的角量,刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 _ 刚体转动,转轴固定不动, 定轴转动,(运动学方程),角速度,角加速度,绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度,当,与质点的匀加速直线运动公式相似,M,刚体,z,O,rM,任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同,5.2.1 力矩,5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,力,改变质点的运动状态,质点获得加速度,力矩,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,1. 力 F 对z 轴的力矩,h,A,(力不在垂直于轴的平面内),(力F 在垂直于轴的平面内),2.力对点的力矩,O .,大小,指向由右螺旋法则确定,力对定轴力矩的矢量形式,（力对轴的力矩只有两个指向）,A,5.2.2 刚体绕定轴转动微分方程,第 k个质元,切线方向,在上式两边同乘以 rk,对所有质元求和,fk,内力矩之和为0,转动惯量 J,rk,刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律）,与牛顿第二定律比较：,5.2.3 转动惯量,定义,质量不连续分布,质量连续分布,确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,J 与刚体的总质量有关,例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,J 与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,平行轴定理及垂直轴定理,z,L,C,M,z,z,J 与转轴的位置有关,刚体绕任意轴的转动惯量,刚体绕通过质心的轴,两轴间垂直距离,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区别,5.2.4 转动定律的应用举例,例,求,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图),一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）,例,求,滑轮转动角速度随时间变化的规律。,解,以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析,滑轮 m：,物体 m1：,物体 m2：,5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,5.3.1 绕定轴转动刚体的动能,z,O,的动能为,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,5.3.2 力矩的功,O,根据功的定义,（力矩做功的微分形式）,对一有限过程,若 M = C,力的累积过程力矩的空间累积效应,. P,5.3.3 转动动能定理, 合力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(2) 力矩的功就是力的功。,(3) 内力矩作功之和为零。,讨论,(1) 合力矩的功,例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,5.4.1 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律,1. 质点的动量矩(对O点),其大小,质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关,特例：质点作圆周运动,5.4 动量矩和动量矩守恒定律,O,S,惯性参照系,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,解,(质点动量矩定理的积分形式),(质点动量矩定理的微分形式),2. 质点的动量矩定理,质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量,说明,冲量矩是质点动量矩变化的原因,质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果,3. 质点 动量矩守恒定律,质点动量矩守恒,(1) 守恒条件,(2) 有心力的动量矩守恒。,讨论,M,O,mv1,mv2,应用举例：,行星运动的开普勒第二定律,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一,求 角及着陆滑行时的速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星.,质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,5.4.2 刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转动的动量矩,O,质点对 Z 轴的动量矩,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为,且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具有相同的方向,(所有质元对 Z 轴的动量矩之和),2. 刚体定轴转动的动量矩定理,对定轴转动刚体，Jz 为常量。,（动量矩定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量,3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,变形体绕某轴转动时，若,说明,则变形体对该轴的动量矩,动量矩守恒举例,花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。,例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。,求 子弹细棒共同的角速度 。,解,其中,m,讨论,子弹、细棒系统的动量矩守恒,水平方向动量守恒,？,*5.4.3 旋进(进动),高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动,对O点，陀螺的动量矩近似为,动量矩定理,由于,因而,只改变方向，不改变大小(进动), 进动角速度,而且,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,动量矩定理,