用高斯消元法 解线性方程组,北京景山学校 何江舟,GPA排名系统（CTSC2001）,高等院校往往采用GPA来评价学生的学术表现。传统的排名方式是求每一个学生的平均成绩，以平均成绩作为依据进行排名。对于不同的课程，选课学生的平均成绩会受到课程的难易程度等因素的影响，因此这种排名方式不够合理。为此，我们需要对排名系统进行这样的改进：对第i门课的每一个学生的成绩加上一个特定的修正值di（调整后的成绩不按照百分制），使得经过调整后，该课的平均分等于选该课的所有学生的所有课的平均分。对每一门课都这样调整，使得上述条件对所有课程都满足。你的任务是根据一个年级学生某学年的成绩，通过上述调整，得出他们的排名,简要分析,Ai：选修第i门课的学生的集合 Bj：第j个学生选修课程的集合 Gi,j：第j个学生第I门课的成绩 di：第i门课的修正值 对于第p门课，可列出如下关系式：,这是关于di（i=1,2,n）的线性方程，我们可以整理出n个这样的方程。,线性方程组的一般形式,先看一个例子,2 -1 3 1 4 2 5 4 1 2 0 7,2 -1 3 14 -1 22.5 -1.5 6.5,2 -1 3 14 -1 2-0.875 5.25,2 0.5,2.5,得出： x3=5.25/(-0.875)=-6 x2=(2-(-1)x3)/4=-1 x1=(1-(-1)x2-3x3)/2=9,消元过程,a1,1(1) a1,2 (1) a1,n (1) b1 (1) a2,1(1) a2,2 (1) a2,n (1) b2 (1) an,1(1) an,2 (1) an,n (1) bn (1),注：用上标(k)表示第k次消元前的状态,第1次消元，第1行的乘数： （i=2,3,n）,a1,1(1) a1,2 (1) a1,n (1) b1 (1)a2,2 (2) a2,n (2) b2 (2)an,2 (2) an,n (2) bn (2),得到新的增广矩阵：,（i,j=2,3,n）,第k次消元，第k行的乘数： （i=k+1,k+2,n）,消元过程,a1,1(1) a1,2 (1) a1,n (1) b1 (1)a2,2 (2) a2,n (2) b2 (2)ak,k(k) ak,n (k) bk (k)an,k(k) an,n (k) bn (k),第k次消元前的增广矩阵：,增广矩阵的变化： （i,j=k+1,k+2,n）,回代过程,a1,1(1) a1,2 (1) a1,n (1) b1 (1)a2,2 (2) a2,n (2) b2 (2)an,n (n) bn (n),最后得到的增广矩阵：,最终结果的计算：,为什么要选主元素,前面介绍的消元法都是按照自然顺序，即x1、x2、xn的顺序消元的。有：,所以每一次消元的主元素都不能为0。如果按照自然顺序消元的过程中出现的ak,k(k)=0，那么消元无法继续进行下去。或者| ak,k(k) |很小，也会严重影响计算精度。,为什么要选主元素,例如（假设运算过程中使用单精度实数）：,10-10 1 1 1 1 2,10-10 1 1-1010 -1010,解得：x1=0，x2=1这个解与第二个方程差异很大。究其原因，因为消元过程中第一个方程所乘的系数过大，使得上式“吃掉”了下式，所以在结果中根本无法体现下式。 但如果调整一下顺序：,1 1 2 10-10 1 1,1 1 21 1,解得：x1=1，x2=1，这个解基本符合原方程所以每次消元的主元素的绝对值应该尽可能大，使得与主行相乘的乘数尽可能小。,选主元素,a1,1(1) a1,2 (1) a1,n (1) b1 (1) a2,2 (2) a2,n (2) b2 (2)ak,k(k) ak,n (k) bk (k)al,k(k) al,n(k) bl(k)an,k(k) an,n (k) bn (k),进行第k次消元时，将ak,k一下各元素（包括ak,k）进行比较，将其中的最大者所在行与第k行交换。,无解的情况,如果在消元的过程中，增广矩阵出现这样一行：左侧各未知数的系数都为0，而右侧的常数项不为0，则意味着方程组无解。,无数组解的情况,在消元过程中，出现这样一行：各未知数的系数和常数项都为0。这相当于少了一个方程，也就是接下来的消元过程中，方程的个数少于未知数的个数，方程要么无解，要么有无数组解。下面讨论对于这样的方程，如何得到一组解。先看这样一个方程：,4 2 3 9 2 1 1 4 2 1 2 5,4 2 3 9 0 0 -0.5 -0.5 0 0 0.5 0.5,如果继续消元（消第2列），必须保证a2,20，可是第2列中不存在非0的项。,无数组解的情况,4 2 3 9 0 0 -0.5 -0.5 0 0 0.5 0.5,只能够把第3列的元素作为第2次消元的主元素，进行消元：,4 2 3 9 0 0 -0.5 -0.5 0 0 0 0,第2次消元得到的元素全部为0，所以第三行元素已失去意义。x2没有做过主元素，可随意取值，再进行回代，得到一组可行解。如令x2=0，x3=1，x1=1.5。对于一般的线性方程组，先进行消元，每次消元前找到系数不完全为0的列，相应的元素作为此次消元的主元素，直至第k次消元时，得到的新元素全部为0，这时把各未知数分为两种：第k+1列至第n列对应的未知数，可以将这些未知数随意取值；第1列至第k列对应的未知数，这些未知数的值在回代过程中确定。,性能分析,时间复杂度： O(n3)消元O(n3)选主元素：O(n2)回代O(n2),空间复杂度： O(n2)增广矩阵O(n2)如使用全选主元素，还需一个存储列与元素对应信息的表，为O(n),精度：由于采用实数运算，另外每一次（第一次除外）消元都要使用以前消元产生的结果，每一次回代都要使用消元结果和其它回代结果，所以累积误差比较严重，该方法只能够求得近似解。但是可以根据具体需要进行相应改进。,整数线性方程组的精确解法,前面讨论了对于一般线性方程组通过实数运算得到近似解的算法。而在一些问题中，常常要求精确解，这里讨论一下系数、常数项和解均为整数的线性方程组的精确解法。前面是用这种方法消元的：,显然这里进行的是实数运算。,整数线性方程组的精确解法,由于不能够保证ai,k(k)是ak,k(k)的倍数，要想消元，必须使两行分别乘以一个乘数。,方程较多时，系数有可能越来越大，到一定程度有可能导致系数越界，因此要随时对各行化简，即把这一行中所有元素除以这些元素的最大公约数。但是，无论如何，这也保证不了不会发生越界，因此这种算法一般适用于系数、未知数范围较小，未知数个数较少的方程。,齿轮,你有一套玩具，包括许多不同尺寸的齿轮（至多20种，假定每一种齿轮有无限多个），每个齿轮最多100齿。你希望用它们构造不同比例的传动装置。一个传动装置包括偶数个齿轮，这些齿轮两两一组互相咬合，每一组齿轮都与下一组用轴承相连。用c1、c2、cm表示每组第一个齿轮的齿数，用d1、d2、dm表示每组第二个齿轮的齿数。,例如你有3种齿轮：6齿、12齿、30齿，你需要实现4:5的传动比例，一种可行的方案是：使用4个齿轮，分2组，第1组的两个分别为12齿、6齿，第2组的两个分别为12齿、30齿。,简要分析,把这些齿轮的齿数设为a1、a2、an，设它们作为C类齿轮的数量分别为e1、e2、en，作为D类齿轮的数量分别为f1、f2、fn。有如下关系：,这时候我们不难发现，一种齿轮同时当作C类、D类使用是一种浪费。设xi=ei-fi，xi0表示这种齿轮只作为C类，xi0表示这种齿轮只作为D类。这就转化为解xi问题。我们可以将c、d、ai这些值分解质因数。由于ai不超过100，所以a1an能够分解为的质因数不超过25种。另外，如果c或d中包括这以外的质因数，显然问题无解。,简要分析,设gr,i为质数r在ai的质因数分解中的指数，cr、dr分别为质数r在c、d中的质因数分解中的指数。有如下关系：2(x1g2,1+x2g2,2+xng2,n)=2(c2-d2)3(x1g3,1+x2g3,2+xng3,n)=3(c3-d3)这完全可以表示为关于指数的等式，即：g2,1x1+g2,2x2+g2,nxn=c2-d2g3,1x1+g3,2x2+g3,nxn=c3-d3g97,1x1+g97,2x2+g97,nxn=c97-d97当然还有一个约束条件：x1+x2+xn=0这就完全转化为了解线性方程组的问题，而且这需要精确地解出这个整数线性方程组，并且还要面临不定方程的问题，如果能够得出整数解，则问题有解。,小结,高斯消元法是一种比较简单、适用范围较广的有效算法，但在实际应用中，我们往往需要具体问题具体分析，对这样的标准算法进行改进，才能满足我们的需要。,谢谢,请多提宝贵意见,