第二节 一元二次不等式及其解法,主干知识梳理 一元二次不等式的解集 二次函数yax2bxc的图象、一元二次方程ax2bxc0的根与一元二次不等式ax2bxc0与ax2bxc0的解集的关系，可归纳为：,若a0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解,x|xx2,x|xx1,R,x|x1xx2,4(2012天津高考)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_解析 因为|x2|3，即5x1，所以A(5，1)，又AB，所以m1，B(m，2)，由AB(1，n)得m1，n1.答案 1 1,5(教材习题改编)若不等式x22xm0，在x1，0上恒成立，则m的取值范围是_解析 由mx22x知m只需小于ux22x，x1，0的最小值即mumin.又u在1，0上递增，umin123.m3.答案 (，3),关键要点点拨 解一元二次不等式应注意的问题： (1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数 (2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况 (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号 (4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同,典题导入解下列不等式： (1)0x2x24； (2)x24ax5a20(a0),一元二次不等式的解法,规律方法 1解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集,2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏,典题导入已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围 听课记录 解法一：f(x)(xa)22a2， 此二次函数图象的对称轴为xa. 当a(，1) 时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.,一元二次不等式恒成立问题,要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina， 即2a3a， 解得3a1； 当a1，)时，f(x)minf(a)2a2， 由2a2a，解得1 a1. 综上所述，a 的取值范围为3，1,规律方法 1对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 2一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax2bxc0(a0)(xR) 恒成立的充要条件是：a0且b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)(xR)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0.,跟踪训练 2若关于x的不等式x2axa0的解集为(，)，则实数a的取值范围是_；若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析 由10，即a24(a)0，得4a0；由20，即a24(3a)0，得a6或a2.答案 (4，0) (，62，),一元二次不等式的应用,规律方法 解不等式应用题，一般可按如下四步进行： (1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题,跟踪训练 3某同学要把自己的计算机接入因特网现有两家ISP公司可供选择公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？,【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析,【高手支招】 “三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数yax2bxc(a0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值，二次方程ax2bxc0(a0)的根是同一个问题解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决,课时作业,