1,第五章 平面向量,向量的概念及其几何运算,第 讲,1,（第一课时）,2,3,4,一、 向量的有关概念 1.既有_又有_的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示. 2.向量 的大小，也就是向量 的_(或称模)，记作_. 3.长度为_的向量叫做零向量，记作0.规定零向量的方向是_.长度为1的向量叫做单位向量.,大小,方向,长度,0,任意的,5,4.方向_的向量叫做平行向量，也叫做_.规定：零向量与_平行. 5.长度_且方向 _的向量叫做相等向量. 二、向量的初等运算 1.向量的加法法则有 _法则和 _法则. 2.向量的加法满足 _律和 _律.,相同或相反,共线向量,任一向量,相等,相同,平行四边形,三角形,交换,结合,6,3.与a长度_,方向_的向量，叫做a的相反向量. 4.实数与向量a的乘积a是一个_，它的长度是|a|的_倍，它的方向为： 当0时，与a的方向_； 当0时，与a的方向_； 当=0时，a=_.,相等,相反,向量,|,相同,相反,0,7,5.设a、b是任意向量，、是实数，则实数与向量的积满足以下运算律： (1)结合律，即(a)=_; (2)第一分配律， 即(+)a=_; 第二分配律， 即(a+b)=_.,()a,a+a,a+b,8,三、两个重要定理 1.共线向量定理：向量b与_向量a共线的充要条件_. _。 2.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_向量，那么对这一平面内的任一向量a_一对实数1、2,使_，其中e1、e2是_.,一组基底,a=1e1+2e2,有且只有,不共线,有且只有一个实数,使得b=a,非零,9,1.(教材第一册(下)习题5.1的第2题改编) 如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A. B. C. D.,A,10,解法1：因为 所以 得 故选A. 解法2：,11,2.已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且 那么( ) 解：因为O是ABC所在平面内一点， D为BC边的中点， 所以 由 得 即,A,12,3.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若 则AF=( ) 解:如图,易知 解得,B,13,因为E是线段OD的中点， AE的延长线与CD交于点F， 所以 所以 故选B.,14,1. 判断下列命题的真假，并说明理由. 若|a|=|b|，则a=b或a=-b; 若 则A，B，C，D是一个 平行四边形的四个顶点； 若a=b，b=c，则a=c;,题型1 向量有关概念的辨析,15,若ab，bc，则ac; 设a,b为非零向量,|a+b|=|a|-|b|a|b| 且a与b方向相反. 解：两向量相等必须大小相同而且方向相同，因此，模相等是向量相等的必要不充分条件，故此命题不正确. 由 可得 且 ，由于 可能是A，B，C，D在同一条直线上，故此命题不正确. 正确.,16,不正确.当b=0时，ac不一定成立. 正确. 点评：相等向量、平行向量、零向量是向量中的几个基本概念，两向量相等的充要条件是：方向相同且长度相等；平行向量对应的直线(或线段)在同一直线上，或在两平行直线上；零向量是方向任意，长度为零的向量，与其他非零向量都平行.,17,18,19,2. 如图，设E、F、G、 H分别是四边形ABCD四条 边的中点，求证： 证明：因为 +得 因为G、H分别是AD、BC的中点，,题型2 向量的加法、减法及数乘的应用,20,所以 所以 同理， 故 点评：利用向量证几何中的平行或相等问 题，注意向量加法的合并原则“首尾相接， 首尾连”，而减法运算可转化为加上此向量 的相反向量，从而统一成加法运算.另外也 可结合图形，利用加法的平行四边形法则 或三角形法则进行加减运算.,21,求证：点O是ABC的重心的充要条件是 证明：(1)充分性： 因为 所以 即 是与 方 向相反且长度相等的向量. 如图所示，以OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD，则 所以,22,在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于点E，则 所以AE是ABC的边BC的中线，且 所以点O是ABC的重心. (2)必要性： 因为O点是ABC的重心，连结AO并延长交BC于E，则E为BC的中点.延长OE到D，使 则四边形BOCD为平行四边形， 所以 所以,23,1.向量的加法与减法是互逆运算. 2.当一个向量的终点为另一个向量 的始点时，可用向量加法的三角形 法则；而当它们的始点相同时，可 用向量加法的平行四边形法则；,24,3.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形.另外注意三角形的四心：外心：三角形外接圆的圆心(即三边中垂线的交点)；重心：三角形三条中线的交点；垂心：三角形三条高线的交点；内心：三角形三个内角的平分线的交点.,25,4.若C为线段AB的中点，O为直线AB外一点，由向量加法的平行四边形法则可得,26,第五章 平面向量,向量的概念及其几何运算,第 讲,1,（第二课时）,27,题型3 共线向量与三点共线问题,1. 在平行四边形ABCD中， M是AB的中点，N在BD上，且 试推断M、N、C三点 是否共线，并说明理由.,28,解：因为 所以 所以向量 与 共线， 故M、N、C三点共线. 点评：用向量法证明几何中的平行或共线问题，就是用向量表示图中的有关线段，利用向量的相等得到线线平行或多点共线，如本题中的三点共线，即从这三点中任取两点构成向量，然后看这两个向量是否是共线向量.,29,设E、F分别是 四边形ABCD的对角线AC、 BD的中点，试推断向量 与 是否共线.,解：因为 又 所以 因为E、F分别是AC、BD的中点， 所以 所以 故 与 共线.,30,2. 如图，三角形ABC中， 点M是BC的中点， 点N在边AC上， AM与BN相交于点P，设 =e1, =e2.试用e1、e2 表示 . 解：因为 =e1, =e2，则 又 所以,题型4 平面向量基本定理的应用,31,又设 则由 得 所以 解得 所以,32,点评：本题向量比较多，一般取不共线的两向量作为基本向量，其他向量都往这两个向量转化，如本题中尽量往ABC的边所在向量 上转化，转化的策略是利用加减法运算合并向量或分解向量.,33,在平行四边形ABCD中，M、N 分别是CD、BC的中点， 设 试以a、b为基底表示向量 和 .,解：由图知， 所以 解得,34,3. O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点,动点P满足 0，+)，则点P的轨迹一定通过ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心,题型5 向量的几何运算,B,35,解：由已知得 因为 与 是单位向量， 所以 是以这两个单位向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量，从而点P在BAC的平分线上，故选B. 点评：有关向量的几何运算，是数形结合的一个方面，正确理解运算法则是基础，掌握运算规律是重点，而综合应用则是考点、难点与关键.,36,37,38,39,1.关于实数与向量的积 (1)向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积的运算过程中既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合思想的具体运用，这点提示我们解题时不要脱离了向量的几何意义. (2)对任意非零向量a， 是一个单位向量.,40,(3)设 (x，yR)，则P、A、B三点共线的充要条件是x+y=1. 2.向量是一个几何量，是有“形”的量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.,