13.5.2线段的垂直平分线,吴村二中 2016.11,学习目标：1熟悉线段垂直平分线的性质和判定2会运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题 学习重点：线段垂直平分线的性质和判定的应用,用几何语言表示为： CA =CB，MNAB， PA =PB,A,B,P,C,M,线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等,N,或,点P在线段AB的垂直平分线MN上 PA=PB,回顾,用几何符号表示为： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上,线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,回顾,两点确定一条直线，所以只需证明 两个点在线段的垂直平分线上,该定理该定理只能判定一个点在线段的垂直平分线上。只能判定一个,要证明一条直线是线段的垂直平分线， 需要证明几个点在线段的垂直平分线上呢？,到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,线段垂直平分线上的点到这线段两端的距离相等.,逆命题,线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相 等的所有点的集合,逆定理可以用来证明点在线段的垂直平分线上.(或线段的垂直平分线过某一点).,性质定理可以用来证明两条线段相等（或三角形是等腰三角形）.,总结：,解： AB =AC， 点A 在BC 的垂直平分线 MB =MC， 点M 在BC 的垂直平分线上 直线AM 是线段BC 的垂直 平分线,典型例题,例1、 如图，AB =AC，MB =MC直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？,www.12999.com,例2 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC;,例2 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC;, 点P在线段AB的垂直平分线上,证明：, PA=PB （线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）, 点P在线段BC的垂直平分线上,PA=PB=PC,PA=PC点P在AC的垂直平分线上。 （到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线）,PB=PC,已知： ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。求证：PA=PB=PC.,结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。,烟 威 高 速 公 路,2. 在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 院的院址应选在何处？,A,B,实际应用,2、如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB,l,A,B,:如图,在直线 L上求一点P,使PA=PB,l,B,A,P,点P为所求作的点,PA=PB,线段的垂直平分线,2、如图，在直线L上求作一点P，使PA=PB.,实际问题2,数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务,浦东新区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。,A,B,C,实际问题,线段的垂直平分线,求作一点P，使它和已ABC的三个顶点距离相等.,实际问题,线段的垂直平分线,1、求作一点P，使它和已ABC的三个顶点距离相等.,实际问题1,8,课堂练习,1、如图，在ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则ADE 的周长等 于_,www.12999.com,课堂练习,2、如图，BDAC，垂足为点E，AE=CE。求证:AB+CD=AD+BC,3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则 1= , 2= .,30o,1,2,75o,30o,60o,45o,填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,5.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BCD的周长.,D,C,B,E,A,1.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？,【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的 交点就是要建的公共汽车站.,典型例题,如图所示，水泵站修在 C 点可使所用的水管最短.,2、如图，要在路边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在路边什么地方，可使所用的水管最短？,张村,李庄,A,C,两点之间，线段最短,如图所示，水泵站修在 C 点可使所用的水管最短.,3、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？,张村,李庄,A,C,A,4、如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？,解：1作点A关于EF的对称点A,2连结AB交EF于点C则沿AC撞击黑球A，必沿CB反弹击中白球B。,C,5.如图所示，在ABC中，AB=AC32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求BCN的周长。,6. 已知：如图， AC=AD，BC=BD，点E在AB上.求证：EC=ED.,A,C,E,D,B,证明：,AC=AD(已知),点A在线段CD的垂直平分线上.,BC=BD(已知),同理可证，点B在线段CD的垂直平分线上.,AB是CD的垂直平分线.(两点确定一条直线),点E在AB上.(已知),EC=ED.,解： ADBC，BD =DC AD 是BC 的垂直平分线 AB =AC 点C 在AE 的垂直平分线上 AC =CE AB =AC =CE,课堂检测,1、如图，ADBC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？, AB =CE，BD =DC， AB +BD =CD +CE即 AB +BD =DE ,2.如图，如果ACD的周长为18cm，ABC的周长为28cm， DE是BC的垂直平分线,根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?,（1）ACD的周长AD CDAC18cm. （2）ABC的周长ABACBC28cm.,（3）由DE是BC的垂直平分线得：BDCD；所以ADCD ADBDAB.,（4）由（2）中式子（1）中式子得BC10cm.,【解析】,3、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，则B=_.,700或200,（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定能怎么使用？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？,课堂小结,作业,1、如图，ADBC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？,2、课本P96，练习3 3、课本P99，习题13.5，2,例3 已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。求证：点O在BC的垂直平分线上。,点O在BC的垂直平分线上。 （到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）,证明：连结OB。, ON是AB的垂直平分线（已知）, OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）, OA=OC（已知）, OB=OC（等量代换）,