将积分区间a，b等分，取分点,作为求积节点，并作变量替换,3 Newton-Cotes求积公式,将积分区间的等分点作为求积节点，构造出来的求积公式称为牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式。,1、牛顿-科茨公式,的求积系数,为,那么插值型求积公式,则,于是得相应的插值型数值积分公式,这就是一般的牛顿科茨公式，,称为科茨系数。,若记,其中,从科茨系数公式可以看出，科茨系数,的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了积分区间的等分数n，就能算出,例如，当 n=1时，有,相应的牛顿科茨公式为,这就是前面提到的梯形公式。,当 n=2时，有,相应的牛顿-科茨公式为,辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的抛物线,代替y= f(x)所得曲边梯形的面积。,这个公式称为辛普森（Simpson）公式。,如图所示,为了便于应用，我们把部分科茨系数列在下表中。利用这张科茨系数表，可以很快写出各种牛顿科茨公式。,例如，当 n=4时，有,其中,下面，我们给出梯形公式，辛普森公式和科茨公式的截断误差（余项）和它们的代数精度的几个结论。,这个公式称为科茨（Cotes）公式。,定理3 若,在a , b上连续，则梯形公式,若,在a,b上连续，则辛普森公式,若,在a,b上连续，则科茨公式,的余项为,的余项为,的余项为,证 1、,因,在a , b上连续，,由Newton-Cotes求积公式的截断误差,且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差,其中,。,请推到此式,故根据积分中值定理，必存在,使得下式成立,其中,。,上连续。,在,上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号，,在,设,由于,的截断误差为,可以看出，梯形公式具有一次代数精度。,因此，梯形公式,辛普森公式,截断误差为,可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。,科茨公式,截断误差为,可以看出，辛普森公式具有五次代数精度。,定理4 梯形公式的代数精度为1； 辛普森公式的代数精度为3； 科茨公式的代数精度为5。,梯形公式,辛普森公式,科茨公式,其中,在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。,例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式,计算积分,的近似值，并估计截断误差。,解：用梯形公式计算，得,截断误差估计为,用Simpson公式计算，得,截断误差估计为,