第9章 弯曲变形, 弯曲变形的微段变形,9.1工程背景 9.2 挠曲线的近似微分方程,微段变形累加的结果,梁的轴线变成光滑连续曲线挠曲线。, 弯曲变形的整体变形,挠度：截面形心在垂 直于轴线方向的线位 移，以y表示。y与坐标 轴同向为正。,梁的位移,挠度方程或挠曲线方程：,水平方向位移：高阶微 量，忽略不计。,弯曲变形/变形的基本概念,角位移：横截面相对于原 来位置转过的角度，以表 示。亦可以用该截面处的 切线与x轴的夹角描述。,符号规定： 以梁轴线为基线，逆时针转 向为正，反之则为负。,弯曲变形/变形的基本概念,数学上，切线表示弹性曲线的斜率,切线的斜率：,弯曲变形/变形的基本概念,挠曲线的近似微分方程,力学公式,数学公式,以上两式消去 ，得：,弯曲变形/挠曲线的近似微分方程,小挠度情形下：,弯曲变形/挠曲线的近似微分方程,y,符号规定：,因此,（挠曲线的近似微分方程）,弯曲变形/挠曲线的近似微分方程,9.3 积分法求梁的变形,由挠曲线的近似微分方程,积分一次：,（转角方程）,积分二次：,（挠度方程）,式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。,例9-1悬臂梁受力如图所示。求 和 。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的弯矩方程,2、,积分一次：,积分二次：,（1）,（2）,3、确定常数C、D.,由边界条件：,代入（1）得：,代入（2）得：,代入（1）（2）得：,（与C比较知： ）,（与D比较知： ）,常数C表示起始截面的转角(初转角）刚度(EI),因此,常数D表示起始截面的挠度（初挠度）刚度(EI),例9-2 一简支梁受力如图所示。试求 和 。,解：,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,BC段,AC段,B,BC段,AC段,3、确定常数,由边界条件：,（1）,（2）,由光滑连续条件：,（3）,（4）,可解得：,则简支梁的转角方程和挠度方程为,BC段,AC段,4、求转角,代入得：,代入得：,5、求 。,求得 的位置值x。,则由,解得：,弯曲变形/用积分法求梁的变形,代入 得：,若 则：,在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。,悬臂梁：,A,B,梁的约束条件,简支梁：,若B支座改为弹簧支撑，则：,若B支座改为拉杆支撑，则：,讨论：,（1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；,（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；,（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；,（4）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯一的。,4、(16分) 图示悬臂梁AB的A端为弹性转动约束，该处 截面转角与弯曲力矩m的关系为=km其中k为常数。 若EI已知，试用积分法求梁AB的挠度曲线和B处的转角 与挠度。,例9-3 试绘出各梁挠曲轴的大致形状。,解：,1、作梁的弯矩图,2、根据弯矩图的变化规律，确定挠曲轴曲率的变化规律,3、根据梁的约束（支座情况）、变形相容条件，绘制挠曲轴的大致形状。,注意：,（1）正弯矩使梁下凸，负弯矩使梁上凸；,（2）在转角为零处，挠度出现极值，在挠度最大处，截面的转角不一定为零，在弯矩最大处，挠度不一定最大。,弯曲变形/用积分法求梁的变形,9.4 用叠加法求梁的变形, 叠加法前提 第一类叠加法 第二类叠加法, 叠加法前提, 小变形, 力与位移之间的线性关系,挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系,轴向位移忽略不计。, 第一类叠加法,叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。, 应用于多个载荷作用的情形,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,例6-4 已知：q、l、EI，求：yC ,B,例6-5 怎样用叠加法确定C和yC ?, 第二类叠加法逐段分析法,将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形 在需求位移处引起的位移（挠度和转角），然后计算 其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分 析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研 究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。,例6-6 ：,怎样用叠加法确定yC ?,例6-6 ：,F,+,1）考虑AB段(BC段看作刚体),F作用在支座上，不产生变形。,Fa使AB梁产生向上凸的变形。,查表得：,则,怎样用叠加法确定wC ?,2）考虑BC段(AB段看作刚体),所以,例9-7 求图示梁上CB段中点 D 处的挠度。,例：用叠加法求AB梁上E处的挠度.,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,1、考虑AB段（BCD视作刚体）,2、考虑BCD段（AB视作刚体）,再以叠加法求 。,而,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,BC段看作悬臂梁（DC视作刚体）,DC段看作悬臂梁（BC视作刚体）,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,因此,弯曲变形/用叠加法求梁的变形,9.5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施,刚度条件：,y许用挠度，许用转角,工程中， y常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如：,对于桥式起重机梁：,对于一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,提高梁弯曲刚度的措施,梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：,材料梁的变形与弹性模量E成反比；,截面梁的变形与截面的惯性矩 成反比；,跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比,弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施,(1)减小跨度，增加支座，或加固支座。,例如受q作用的简支梁：,方法：,增加支座：,弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施,加固支座：,(2)选用合理截面， 。,常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要 提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。,弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施,(3)合理安排载荷作用点，以降低 。,方法：,使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：,(4)其它：因钢的E基本相同，所以材料的杨氏模量对变形影响不大。,弯曲变形/梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施,9.6 简单超静定梁,静不定梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目， 仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或 静不定问题）。,静不定次数=未知力的数目-独立平衡方程数,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,4个约束反力，,3个平衡方程，,静不定次数=1,用力法求解静不定问题的步骤：,1、确定静不定次数。,2、选择基本静定梁。,静定梁(基本静定基) 将静不定梁的多余约束解除，得到相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以及内力。,多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。,多余约束的数目=超静定次数,多余约束的数目=1,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,静定梁(基本静定基)选取,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,(2)解除A端阻止转动的支座反力矩 作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。,A,(1)解除B支座的约束,以 代替，即选择A端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。,基本静定基选取可遵循的原则：,(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；,A,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,3、列出变形协调条件。,比较原静不定梁和静定基在解除约 束处的变形，根据基本静定梁的一 切情况要与原超静定梁完全相同的 要求，得到变形协调条件。,本例： (1),4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。,仅有q作用，B点挠度为：,仅有 作用，B点挠度为：,因此,解得:,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。,本例： (1),弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,因此,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。,例6-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。,1、选择基本静定梁。,解：,2、列出变形协调条件。,而,（1）,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,解得：,代入（1）：,3、在基本静定梁上由叠加法求 。,在F力单独作用下：,在 力单独作用下：,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,解得：,在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下 移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,例6-9 图示结构，悬臂梁AB与简支梁DG均用No.18工字钢制成,BC 为圆截面钢杆,直径d=20cm, 梁与杆的弹性模量均为E=200GPa， 若载荷F=30KN，试计算梁内的最大弯曲正应力与杆内的最大正 应力以及横截面C的铅垂位移 。,弯曲变形/用变形比较法解静不定梁,9.1 变形的基本概念,微段变形, 轴向变形的微段变形,微段变形累加的结果,轴向变形的整体变形,弯曲变形/变形的基本概念,整体变形, 扭转的微段变形,弯曲变形/变形的基本概念,微段变形累加的结果, 扭转的整体变形,弯曲变形/变形的基本概念,没有约束无法确定位移,弯曲变形/变形的基本概念,（四） 约束对位移的影响,连续光滑曲线；铰支座对位移的限制,弯曲变形/变形的基本概念,连续光滑曲线；固定端对位移的限制,弯曲变形/变形的基本概念, 对于拉伸（压缩)、扭转变形定积分 对于梁的位移不定积分, 弹性曲线的小挠度微分方程,弯曲变形/变形的基本概念,