最短路径问题,Mathematica Modeling,参考书： 1.傅鹂 龚劬 刘琼荪 何中市 数学实验科学出版社 2.张绍民 李淑华 数据结构教程C语言版中国电力出版社主讲：重庆大学 龚 劬,主要内容,Floyd算法,Dijkstra算法,两个例子的求解,引例2：最廉价航费表的制定,引例1：最短运输路线问题,3,如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？,引例1：最短运输路线问题,4,某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。,引例2：最廉价航费表的制定,5,最短路径问题,定义：设P(u,v)是加权图G中从u到v的路径,则该路径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P). 从u到v的路径中权最小者 P*(u,v)称为u到v的最短路径.,最短路径算法,Dijkstra算法 使用范围: 寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径; 有向图、无向图和混合图; 权非负. 算法思路：采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径.,Dijkstra算法算法步骤,S: 具有永久标号的顶点集; l(v): v的标记; f(v):v的父顶点,用以确定最短路径;输入加权图的带权邻接矩阵w=w(vi,vj)nxm. 初始化 令l(v0)=0,S=; vv0 ,l(v)=; 更新l(v), f(v)寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即 l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u; 重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止.,MATLAB程序（Dijkstra算法）,function min,path=dijkstra(w,start,terminal) n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start; for i=1:nif i=startlabel(i)=inf; end, end s(1)=start; u=start; while length(s)(label(u)+w(u,v)label(v)=(label(u)+w(u,v); f(v)=u;end, end, end,v1=0;k=inf;for i=1:nins=0;for j=1:length(s)if i=s(j)ins=1;end, endif ins=0v=i;if klabel(v)k=label(v); v1=v;end, end, ends(length(s)+1)=v1; u=v1; end,min=label(terminal); path(1)=terminal; i=1; while path(i)=startpath(i+1)=f(path(i);i=i+1 ; endpath(i)=start; L=length(path); path=path(L:-1:1);,9,最短路径算法,Dijkstra算法程序的使用说明：调用格式为min,path=dijkstra(w,start,terminal), 其中输入变量w为所求图的带权邻接矩阵，start, terminal分别为路径的起点和终点的号码。返回start到terminal的最短路径path及其长度min. 注意：顶点的编号从1开始连续编号。,最短路径算法,Floyd算法 使用范围: 求每对顶点的最短路径; 有向图、无向图和混合图; 算法思想:直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次递推地构造出n个矩阵D(1), D(2), , D(n), D(n)是图的距离矩阵, 同时引入一个后继点矩阵记录两点间的最短路径.,Floyd算法算法步骤,d(i,j) : i到j的距离;path(i,j): i到j的路径上i的后继点;输入带权邻接矩阵a(i,j). 1）赋初值对所有i,j, d(i,j)a(i,j) , path(i,j)j,k=l. 2）更新d(i,j) , path(i,j)对所有i,j, 若d(i,k)+d(k,j)d(i,j),则d(i,j)d(i,k)+d(k,j) , path(i,j)path(i,k) , k k+1 3）重复2)直到k=n+1,MATLAB程序（Floyd算法）,function D,path,min1,path1=floyd(a,start,terminal) D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n); for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)=infpath(i,j)=j; end, end, end for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k); end, end, end,end,if nargin=3min1=D(start,terminal);m(1)=start;i=1;path1= ; while path(m(i),terminal)=terminalk=i+1; m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;endm(i+1)=terminal;path1=m; end,13,最短路径算法,Floyd算法程序的使用说明： 1. D, path=floyd(a), 返回矩阵D, path 。其中a是所求图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示i到j的最短距离; path(i,j)表示i与j之间的最短路径上顶点i的后继点. 2. D, path, min1, path1= floyd(a,i,j) 返回矩阵D, path; 并返回i与j之间的最短距离min1和最短路径path1.,14,edge= 2,3,1,3,3,5,4, 4,1,7,6,6,5, 5,11, 1,8,6,9,10,8,9, 9,10;.3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11, 5, 8,1,9,5,11,9,8,10,9;.3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7, 2, 9,9, 2, 2; n=11; weight=inf*ones(n, n); for i=1:nweight(i, i)=0; end for i=1:size(edge,2) weight(edge(1, i), edge(2, i)=edge(3, i); end dis, path=dijkstra(weight, 1, 11),引例1的Matlab求解,15,运行上页程序输出： dis =21 path =1 8 9 10 11因此顶点1到顶点11的最短路径为18 9 10 11, 其长度为21。,引例1的求解,16,建立脚本m文件如下： a= 0,50,inf,40,25,10;50,0,15,20,inf,25;inf,15,0,10,20,inf; 40,20,10,0,10,25;25,inf,20,10,0,55;10,25,inf,25,55,0; D, path=floyd(a) 运行便可输出结果。,引例2的Matlab求解,运行输出结果： D =0 35 45 35 25 1035 0 15 20 30 2545 15 0 10 20 3535 20 10 0 10 2525 30 20 10 0 3510 25 35 25 35 0 path =1 6 5 5 5 66 2 3 4 4 65 2 3 4 5 45 2 3 4 5 61 4 3 4 5 11 2 4 4 1 6,D便是最廉价的航费表，要求飞行路线，由path矩阵可以得到，比如2到5的路线：path(2,5)=4, path(4,5)=5,因此，应为24 5,