第四章 线性方程组,4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 克莱因（Klein F，18491925）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1 消元法,1.内容分布4.1.1 线性方程组的初等变换4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：,在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.,（1）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例1 解线性方程组：,从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量,（2）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,得到：,为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程 减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三 个方程，得,再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：,这样我们就求出方程组的解.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,交换两个方程的位置； 用一个不等于零的数某一个方程； 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.,4.1.1 线性方程组的初等变换,线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换：,这三种变换叫作线性方程组的初等变换.,定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：,而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：,（3）,（4）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1.2矩阵的初等变换,叫做一个s行t列（或st）的矩阵，,叫做这个矩阵的元素.,注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组.,定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换：,3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上.,1) 交换矩阵的两行（列）,2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素；,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.,在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵,先化为,然后，进一步化为,定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式：,(5),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,进而化为以下形式，,（6）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数，矩阵A化为,若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为,如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.,形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,显然的. 只要把由第一，第二，第r 1 行 分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二， 第r 2行分别减去第r 1行的适当倍数，等等.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1.3用消元法解线性方程组,考察方程组（1）的增广矩阵（4）. 由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）. 对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：,(7),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,与（7）相当的线性方程组是,（8）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）. 但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出.,情形1，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,情形2，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,当r 0 . 这时，矩阵（3）含有一个r 阶的子式：,定义1 在一个s行t列的矩阵中，任取k行k列,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零. 按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数. 一个矩阵A的秩用秩A来表示. 显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零.,这个子式不等于零. 但矩阵（3）不含阶数高于r的不等于零的子式. 这是因为；在r = m 或r = n 时，矩阵（3）根本不含阶数高于r的子式；而当r m ， r r . 那么有三种可能的情形: D不含第i 行的元素，这时D也是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A的秩r ，因此D= 0.,设把一矩阵的第j 行乘以k加到第i行而得到矩阵B：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,因为后一行列式是矩阵A的一个s阶子式., D含第i行的元素，也含第j行的元素. 这时，由命题3.3.10,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里,D含第i行的元素，但不含第j行的元素，这时,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到 矩阵A. 因此，也有,因此，在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B 的任何 这样的子式都等于零，而B的秩也不超过r . 这样，在任何情形，都有,这样，我们也就证明了，秩A = 秩B ，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩. 对于其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立. 这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.2.2 线性方程组可解的判别法,定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.,