电 路 原 理 Circuit Theory,本章要点： 1. 电压、电流的参考方向2. 电路元件特性,动态元件（dynamic element）,其 VCR 涉及对电流、电压的微分或积分。,引入,电路中接入了电容、电感等实际动态元件。,当信号变化很快时（高频），必须考虑电场和磁场变化的现象，实际器件的电路模型不能仅由电阻表示，还必须引入电容、电感等动态元件。,至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。,比较,电阻电路,用代数方程描述，即若外加激励为常量，则在激励作用的瞬间，电路响应也为一常量。,电阻电路是无记忆的，或说是即时的（instantaneous）。,动态电路,在任一时刻的响应与激励的全部历史有关，即动态电路是有记忆的。,任何一个集总电路不是电阻电路就是动态电路。,1.6 电容元件 Capacitor,1. 电容元件,由两块用绝缘介质隔开的金属极板构成，在外电源作用下，两极板分别带等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电场能量的器件。,+,+,+,+,+,+,_,_,_,_,_,_,i,i,q,电容元件,电场,实际电容器的理想模型，是能够储存电场能量的元件， 其特性可用 qu平面上的一条曲线来描述。,任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正比，qu特性是过原点的直线。,电容器,线性时不变电容元件,这里,为qu特性曲线的斜率，称为电容（capacitance）,为正值常数，,单位： 法拉 符号：F,常用pF，F表示。,库伏特性,C,2. 电容的VCR,u、i 取关联参考方向,由,又,可得,i 的大小取决于 u 的变化率，与 u 的大小无关， 其值可以不连续。,当 u 为常数（直流）时，i 0，电容相当于开路，有通交流隔直流的作用。,u(t0)称为电容电压的初始状态（初始值），它反映电容初始时刻的储能状况。,实际电路中通过电容的电流 i为有限值，则电容电压 u 必定是时间的连续函数，即电容电压不能跃变。,电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件。,表明,表明,3. 电容的功率和储能, 功率,u、i 取关联参考方向,当电容充电， u 0，du/dt 0，则i 0，q， p 0, 电容吸收功率。,当电容放电， u 0，du/dt 0，则i 0，q ， p 0，di/dt 0，则u 0， ， p 0, 电感吸收功率。,当电流减小， i 0，di/dt 0，则u 0， ， p 0, 电感提供功率。,表明,电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。, 电容的储能,从t0 到 t 电感储能的变化量,表明,电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变,电感的储能一定大于或等于零,4. 电容元件与电感元件的比较,电容 C,电感 L,变量,电流 i磁链 ,关系式,电压 u电荷 q,表明,两元件方程的形式是相似的，若把 ui，q ，CL互换，可由电容元件的方程得到电感元件的方程。,C 和L 称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。,状态变量,例1,试绘出图示电路元件两端的电压波形，开关在 t 0 时打开。,(t =0),20,(t =0),2.5,1,解,例2,解,5. 电容、电感的串、并联, 电容的串联, 电容的并联,又,故,又,故, 电感的串联, 电感的并联,可见，电容、电感的串、并联具有和电导、电阻相似的特性。,同样，也具有和电导、电阻相似的分压、分流关系。,又,故,又,故,例1,试求图示各电容的电压，已知ab端的电压为24V。,例2,电路如图所示，已知t0时，i5A。 求u(t)，对所有t； 求i(t)，t0。,并联总电感,正弦稳态、正弦量的概念,正弦量的相量表示（相量法）,电路元件VCR和电路定理的相量形式,复阻抗与复导纳,正弦交流电路的计算,RLC 电路的谐振,内容,正弦稳态电路的功率,重点,采用相量法的思想来分析正弦稳态电路。,4.1 正弦稳态（Sinusoidal Steady-state , SSS）和正弦量,1. 正弦稳态的概念,瞬态（transient state）,电路变化时（例如开关动作），电路的响应也随之从一种稳定状态变化成另一种稳定状态的过程。,稳态（steady state）,电路的瞬态过程结束，达到一种稳定的状态，例如恒定的电压、电流或恒定的电压、电流函数（若为正弦函数时即称为正弦稳态 Sinusoidal Steady state ）。,US,稳态,稳态,稳态,瞬态,瞬态,换路,换路,2. 正弦量,在正弦稳态下，电路的激励和响应均具有正弦函数的形式。,激励,响应,正弦量,正弦函数和余弦函数间的转换关系：,注：为与教材一致，约定以正弦函数的形式作为正弦量的表示形式！,正弦量的三要素,幅值（amplitude）Im：,又称振幅、最大值，反映正弦量变化幅度的大小。,角频率（angular frequency ）：,相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。,单位： 弧度 / 秒，记作,初相位（initial phase angle ）：,反映正弦量的计时起点，常用角度表示。,一般规定：,注：同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同！,示例,已知正弦电流波形如图，103 rad/s， （1）写出 i(t) 表达式； （2）求最大值发生的时间 t1 。,解：,由正弦电流波形,当 t 0 时，,或,（舍去）,3. 同频率正弦量的相位差 （phase difference）,设,则相位差,即相位差等于初相之差,一般规定：,， 超前 角，或 落后 角（ 比 先到达最大值）,， 超前 角，或 落后 角（ 比 先到达最大值）,特殊相位关系,同相,反相,超前 ，或 落后,4. 周期电流、电压的有效值（effective value）,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。,物理定义,直流 I,交流 i,周期电流的有效值,周期电压的有效值,同理，可得：,有效值也称均方根值（root-mean-square）,正弦电流、电压的有效值,设,同理，可得：,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。,注意区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号：,4.2 正弦量的相量表示,1. 问题的提出,由KVL,电路方程是二阶微分方程，意味着必须通过求解微分方程来获得电路变量！,从简化计算的角度利用了正弦函数、复数的性质，进而引入相量的表示方法。,正弦函数的性质： 同频率的正弦量相加、微分后仍然是同频率的正弦量,变换的思想,正弦量,复数,相量,微分方程求解复杂,代数方程求解简单,时域,频域,2. 复数, 复数的表示形式,代数形式（直角坐标形式）,实部,虚部,模,复指数形式（极坐标形式）,欧拉恒等式,模,辐角, 复数的运算,加减运算（采用代数形式）,设,乘除运算（采用复指数形式）,例1,解：,计算,例2,计算,解：, 旋转因子,相当于 逆时针旋转一个角度 ， 而模不变，故把 称为旋转因子。,几种不同 值时的旋转因子,3. 正弦量的相量表示,根据 欧拉恒等式,构造一个复指数函数,对 取虚部,对于任意一个正弦量都有唯一一个与之对应的复指数函数！,复指数函数又可写成,复常数,正弦量,相量,注：相量变换针对的都是同频率的正弦量！,正弦量,相量,相量的模对应正弦量的有效值（最大值）,相量的辐角对应正弦量的初相位,同样，可以建立正弦电压与相量的对应关系：,例1,解：,例2,解：,4. 相量法的应用, 同频率正弦量的加减,可得相量关系为：,故同频正弦量的加减运算对应于相应相量的加减运算,设,则,示例,解：,本题也可以利用相量图来进行计算！,相量图,在复平面上用向量表示相量的图。,(a) 平行四边形法,(b) 三角形法,设,则,两相量相加,设,则,两相量相减,相量图法常用于定性计算！, 正弦量的微分、积分运算,设,微分运算,积分运算,正弦量的微分运算对应于相应相量乘以 j，即相量的模乘以 ，并逆时针旋转 90o,正弦量的积分运算对应于相应相量除以 j，即相量的模除以 ，并顺时针旋转 90o,示例,解：,小结, 相量法把时域问题变为复数（频域）问题，把微积分方程运算变为复数的代数方程运算，可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路，简化了计算。, 相量法主要用来分析正弦稳态电路。, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法不适用,4.3 电路元件VCR 和电路定理的相量形式,1. 电路元件VCR 的相量形式,时域,频域,若,则,电阻元件VCR,相量形式,大小关系,相位关系,相量图,同相位,电感元件VCR,若,则,相量形式,大小关系,相位关系,相量图,时域,频域,电压超前电流90o,感抗和感纳,感抗，单位为欧姆（）,感纳，单位为西门子（S）,感抗的物理意义：, 表示限制电流的能力。, 感抗和频率成正比。,（直流）， 短路,（高频）， 开路,电容元件VCR,若,