1,复变函数 第4讲,2,第二章 解析函数,3,1 解析函数的概念,4,1. 复变函数的导数与微分 i) 导数的定义 定义 设函数w=f(z)定义于区域D, z0为D中一点, 点z0+Dz不出D的范围. 如果极限,存在, 则就说f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0的导数, 记作,5,也就是说, 对于任给的e0, 存在d(e)0, 使得当0|Dz|0, 相应地有一个d0, 使得当0|Dz|0, 有 f(z+Dz)-f(z)=f (z)Dz+r(Dz)Dz, 其中,25,f(z+Dz)-f(z)=f (z)Dz+r(Dz)Dz, 在上式中令f(z+Dz)-f(z)=Du+iDv, f (z)=a+ib, r(Dz)=r1+ir2. 上式写为 Du+iDv=(a+ib)(Dx+iDy)+(r1+ir2)(Dx+iDy) =(aDx-bDy+r1Dx-r2Dy) +i(bDx+aDy+r2Dx+r1Dy). 从而就有 Du=aDx-bDy+r1Dx-r2Dy, Dv=bDx+aDy+r2Dx+r1Dy. 且当Dz0,即Dx0,Dy0时, r(Dz)0, 即有r10,r20.,26,f (z)=a+ib f(z+Dz)-f(z)=Du+iDv Du=aDx-bDy+r1Dx-r2Dy, Dv=bDx+aDy+r2Dx+r1Dy. 因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微, 而且满足方程,27,方程,(2.2.1),称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程.,28,假设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数, 我们也可以将它看作是变量x,y的二元函数, 则对x求偏导和对y求偏导, 得两个公式,29,定理一 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内, 而f(z)在D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程,30,证 条件的必要性已经证明, 现证充分性, 由于 f(z+Dz)-f(z)=u(x+Dx,y+Dy)-u(x,y) +iv(x+Dx,y+Dy)-v(x,y) =Du+iDv, 又因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微, 可知,x,y0时,ek0, (k=1,2,3,4),31,根据柯西-黎曼方程,所以,因此,32,或,因为,故当Dz趋于零时, 上式最后两项都趋于零, 因此,即函数f(z)在点z=x+iy处可导. 证毕.,33,由定理一证明的未尾及柯西-黎曼方程, 立即可以得到函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处的导数公式:,34,根据函数在区域内解析的定义及定理一, 就得到了判断函数在区域D内解析的一个充要条件.,定理二 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并满足柯西-黎曼方程(2.2.1).,35,例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:,解 1) 因为u=x, v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足, 所以 w =z 在复平面内处处不可导, 处处不解析,36,2) 因为u=excos y, v=exsin y,柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是连续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解析, 且根据(2.2.2)式有f (z)=ex(cos y+isin y)=f(z) 今后将知道这个函数就是指数函数ez.,37,3) 由w=zRe(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以,容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.,38,例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析? 解 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 从而要使ux=vy, uy=-vx, 只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by. 因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2,39,例3 如果f (z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常数. 证 因为,所以u=常数, v=常数, 因而f(z)在D内是常数.,40,例4 如果f(z)=u+iv为一解析函数, 且f (z)0, 则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交, 其中c1, c2为常数. 证 由于f (z)=-iuy+vy0, 故uy与vy不全为零. 如果在曲线的交点处uy与vy都不为零, 由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1=-ux/uy和k2=-vx/vy, 利用柯西-黎曼方程得 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1 因此, 二曲线族互相正交. 如果uy与vy其中有一个为零, 则另一个必不为零, 此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交.,41,作业 第二章习题, 第66页开始,第1(2),2(2),3(3),4(1)题,