1 普通高考数学错题集我国的高考经历了艰难的历程，出现了许多成功、 优秀的试题， 这在国家公布的 “评价报告” 、“分析报告、“试题分析” 等文中已祥有阐述阐述，同时各地的期刊也不时发表许多专家对优秀试题的领悟与见解，这些都对中学教学及考试起了不可忽视的作用另一方面，对于命题者而言，纵观高考试题，可以发现，每换一帮人命题，总有一些“重蹈历史覆辙”的不尽人意的试题，这说明仅仅知晓什么样的试题优秀而去照着这个方向模拟、研究是不够的，还必须知道“有哪些经验教训”；同时由于教师职业正在由单纯的教书向教书育人及身兼研究者进行转化，因此对于中学教师及应试的考生而言，考的内容重在把握命题的“度” ，不考的内容也需要一清二楚，而这些又得通过一定的教训及得出的一些经验来启示因此，笔者对历年高考试题进行了分析，搜集而成高考数学败题集高考数学试题随着国家政策的调整几度沉浮，而试题的成败又取决于考后的评价，就评价而言，高考试题走过了越来越受社会关注、越来越受社会评价影响的轨迹：原来的高考试题，社会关注评价比较少，因而试题评价形式以批评与自我批评为主，这一情况延续到1983 年，虽然因为文化大革命而中断了些年；之后的 1984 1993 年，试题评价有了社会人员的参议，但仍然以国家公布的为主； 1994 年后， 由于社会评价的参议，许多评价指标进行了量化（如： 难度、 标准分、区分度、 信度等）， 又随着社会参与评价幅度的增大， 1999 年，国家将评价报告改成“分析报告” ，2002 年定下“自主招生”的政策；2003 年，高考试题进入以省市为主的自主招生阶段，并逐步向“高校自主招生”转移，相应的评价中心也在逐步向参加高考的高中转移，其中的师生逐步成为评价的主角，而这些评价无疑也会影响今后命题方向，同时更直接的影响着平时教学的检测方向及力度这样，我们就更有必要对高考试题中的败题加以留意总结了一、 1983 年前的高考数学败题【说明】这一阶段高考数学试题评价是以批评与自我批评为主，因此，我们也就国家公布的没 有提及优秀的试题来说明（1951 一、 13 ）系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答： 最少是一个，最多是三个【评析】该题根据实系数复数方程虚数根成对出现得到的结论，但这一结论在当时并没有在大范围的教材中出现（1952 二、 1）解方程x4+5x3-7x2-8x-12=0解：左式 =(x4+5x3-6x2）- （x2+8x+12）=(x+6)x2(x-1)-(x+2)=(x+6)(x3-x2-x-2) =(x+6)(x3-2x2)+(x2-x-2) =(x+6)(x-2)(x2+x+1)=0 可得原方程的四根为：. 231, 231,2, 64321ixixxx【评析】该题分解因式的技巧性过强，多数学生不能完成，竞赛性质太浓1963 5根据对数表求10123.28的值解：3670.110128.23lg10128.23lg101570.8,9330. 0lg9330.1390670.011390670.138_xx2 .10570.8570.81028.23139139101【评析】对数值中的139符号，当时是否应该、有必要引入中学还在讨论当中，高考就出现了这样符号结论：研究及有争议的内容不能在试题中出现1965 附加题（ 1）已知, ,a b c为实数，证明, ,a b c均为正数的充要条件是0 0 0abc abbcca abc（2）已知方程320xpxqxr的三根,都是实数，证明,是一个三角形的三边的充要条件是30,0,0 48 .pqr ppqr证明： （1）条件的必要性是显然的，因为已知,0, 0,0cba所以立即可得0cba，0cabcab，.0abc下面证明条件的充分性：设cba,是三次方程023rqxpxx的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有,0,0,0abcrcabcabqcbap此即.0,0,0rqp由此即可知三次方程023rqxpxx的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负; 又由0abc可知，方程无零根，故.0,0,0cba（2）由（ 1）的证明可知，,均为正数的充要条件是.0,0,0rqp于是问题转化为证明,为三角形三条边的充要条件为rpqp843条件的必要性：若,为三角形的三边，则由三角形的性质必有.,于是.0,0,0由此可得)()(3 084)842(8)(4)(2)2)(2)(2()2)(2)(2(33323rpqprpqppppppppppp即rpqp843条件的充分性：若rpqp843，则,0843rpqp.0)()(,0)()(,0)()()(,0)()()(,08)(2)()(,08)222)(,08)(4)(22222223222223此式中至少有一因式大于0，今设, 0则必有.0)(如果,0,0两式相加得02a，即0，此与0相矛盾故有,0,0,0此即,此即,可作为一个三角形的三条边综上所证可知，方程023rqxpxx的三根,为一个三角形的三条边的充要条件是.840,0,03rpqprqp【评析】这个试题以附加题形式出现，难度较大，但也不能大到无一人（甚至参加国际数学竞赛的学生）能作上程度结论：试题不能无线拔高（1977 北京文 4）不查表求sin1050的值解：. 462)4530sin(75sin105sin【评析】当时，并没有要求记特殊角三角函数值，所以题虽然不难，但会的人不多4 （1977 年福建理科2（2）题）证明：22cossin290().2cossin22tg.)290(tg)90cos(1)90cos(1sin1sin1)sin1 (cos2)sin1 (cos2:2右边左边证（1977 年河北试题第3 题） 证明：sin2111.1cos2sin222tg证：左边 = )sin(coscos2)cos(sincossin2cos2cossincossin22222cos2cossin2121tg=右边（1977 年上海理科第1（4）题）求证：sin()cos()244 cos2sin()cos().44.2cos22cos 211) 4cos() 4sin(2sin)4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin( :右边左边证【评析】这些该题本身不难，但三角证明题几地都出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度结论：三角证明一般不作为证明题出现（1977年福建理科第3题）在半径为 R的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前 n个正六边形的周长之和Sn;（2）所有这些正六边形的周长之和S解：如图，半径为R的圆内接正六边形的周长为6R，设 C为 AB的中点， 连结 OC ，OB ，则 OC AB? OC=CD=. 2360sinRR第二个正六边形的周长. 236R同理可得第三个正六边形的周长,) 23(62R第四个正六边形的周长,) 23(63R于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：6R，. 236R,)23(62R,)23(63R,)23(61nRA B C E D O 5 前 n 个正六边形周长的和12)23(6)23(62366n nRRRRS)23()23(231612nR.)23(1)32(12231) 23(1 6RRnn所有这些正六边形周长的和.)32(12 32122316RRRS【评析】从题本身上看，该题是一个好题，但是其答案在全国引起争议归纳出的结论到底是否要证明是等比数列？即使不证明也要体现有等比数列的过程从该题对以后影响是，出现了用式子表达等比、等差数列热潮（1977 年福建文科第4 题） 求抛物线29yx和圆2236xy在第一象限的交点处的切线方程解：解方程组)2(36)1(9222yxxy（1）代入（ 2）得,03692xxx=3,x=-12 （不合题意）将x=3 代入（ 1） ，得33y（仅取正值） ，?在第一象限的交点为（33 ,3）从抛物线xy92得.29p?过点（33,3）的抛物线的切线方程是.09323),3( 2933yxxy即过点（33 ,3）的圆的切线方程是,36333yx即.0123yx【评析】该题的问题是表述不清：有人认为只求抛物线的切线方程，也有人认为只求圆的切线方程，答案倒认为是求圆和抛物线的方程（1977 年黑龙江第2 题第（ 1）问） 计算下列各题：222.mmaa解：当.2,22amamamam时当.2,22maamamam时【评析】该题引发了分段表示法的争论，结论，如果是分段出现的，结果一般用分段函数形式给出（1977 年江苏第1（5）题）把直角坐标方程22(3)9xy化为极坐标方程6 解：原方程可展开为cos6cos60,0cos6,06222即或yxx【评析】该题从一般情况下考虑（直角坐标系的原点为极点，x 轴为极轴且长度单位不变），但没有交代清楚一般情况下，以致于该题出现的情况是：一般的学生答的好，程度很高的如参加竞赛的学生反倒没有答好！属于交代不明出现的失误（1977 年上海理科第6 题）已知两定点A（-4 ，0） 、B（4，0） ，一动点P（ x,y ）与两定点A、B的连线 PA 、PB的斜率的乘积为14求点 P的轨迹方程， 并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、 PB的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意, 14161644144.4,422 2221yxyxxyxyxykxyk【评析】该题解答有误，应该加上条件(x 4，相应曲线为以（23,0 ）为焦点、以8 为长轴的椭圆，去掉长轴的两个端点)结论：说明轨迹、图形的问题要保证惟一及等价（1979 年文科理科第四题）叙述并证明勾股定理证：略【评析】这个题当时答案是用坐标法的距离公式证明的，但是距离公式是由勾股定理推导出的，因而形成“因为A 所以 A”的循环论证错误，而得出一般用拼图法得到；拼图法能否算作证明还在争论中，但当年多数省市按错对待结论：数形结合的方法得到的结论不能以证明题的形式出现（1980 年理科第八题）已知 0 ，证明：2sin 2ctg并讨论 为何值时等号成立解：即证：. sincos12sin2两端乘以sin ，问题化为证明2sin sin2 1+cos而2sin sin2 =4sin cos2=4(1-cos2)cos =4(1-cos )(1+cos )cos 所以问题又化为证明不等式 (1+cos )4(1-cos )cos -1 0（1+cos)221cos40?不等式得证0 , ?等号成立当且仅当cos- 21=0 即 =600【评析】这些该题本身不难，但三角证明题出现证法太多，标准不易统一，给阅卷带来非常大的难度另一方面，这一答案给出的分析法证明格式也不对，一般分析法证明题格式“要证 A ，只要证 B”形式， B是 A的充分不必要条件即可，而不是由A导出 B（1982 年文科第七题）已知定点A，B且 AB=2a，如果动点P到点 A的距离和到点B的距离之比为 21，求点 P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线7 解：选取 AB所在直线为横轴， 从 A到 B为正方向， 以 AB中点 O为原点， 过 O作 AB的垂线为纵轴，则 A为（ -a，0） ，B为（a，0） ，设 P为（ x,y).033103,)(4)(.2 )()(,1222222222222ayaxxyaxyaxyaxyaxPBPA因为 x2,y2两项的系数相等，且缺xy 项，所以轨迹的图形是圆（1983 年文科第九题）如图，已知两条直线L1:2x-3y+2=0,L2