选修 41几何证明选讲第 2 课时圆的进一步认识(对应学生用书(理)182 185 页) 考情分析考点新知掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题. 理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题1. 如图，点P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且PBOB2，PC 切圆 O 于 C 点， CDAB 于 D 点，求 PC 和 CD 的长解： 由切割线定理得PC2PB PA12， PC23，连结 OC，则 OC1 2OP， P30， CD12PC3. 2. 如图， AC 为圆 O 的直径，弦BD AC 于点 P，PC2，PA8，求 tanACD 的值 解： 由相交弦定理和垂径定理得BP2PC PA16，BP4. ACD ABP，tanACD tanABPAP BP8 42. 3. 如图，点A，B，C 是圆 O 上的点，且AB4， ACB 45，求圆O 的面积解： (解法 1)连结 OA 、OB，则 AOB 90. AB 4，OA OB， OA2 2，则 S圆 (22)28.(解法 2)2R4 sin454 2R2 2，则 S圆 (22)2 8. 4. 如图，点B 在圆 O 上，M 为直径 AC 上一点， BM 的延长线交圆O 于 N， BNA45，若圆 O 的半径为 2 3，OA 3OM，求 MN 的长解： BNA 45， BOA 90. OM 2，BO2 3， BM 4. BM MNCM MA (232)(23 2)8，MN 2. 5. 如图，已知P 是圆 O 外一点， PD 为圆 O 的切线， D 为切点，割线PEF 经过圆心O，若 PF12，PD4 3，求圆 O 的半径长和 EFD 的大小解： 由切割线定理， 得 PD2 PE PFPEPD2PF16 3 124EF8， OD 4. OD PD，OD1 2PO，P30， POD60， PDEEFD 30. 1. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半(2) 推论1：同弧 (或等弧 )上的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等(3) 半圆 (或直径 )上的圆周角等于90.反之， 90的圆周角所对的弦为直径2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定 切线的定义：当直线与圆有2 个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等(2) 弦切角 弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角 弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半 推论：同弧 (或等弧 )上的弦切角相等，同弧(或等弧 )上的弦切角与圆周角相等3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项5. 圆内接四边形(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆备课札记 题型 1探求角的关系例 1如图， AB 是圆 O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E，EF 垂直 BA 的延长线于点F.求证： DEA DFA. 证明： 连结 AD ， 因为 AB 为圆的直径， 所以 ADB 90.又 EFAB ， EFA90，所以 A、D、E、F 四点共圆所以DEA DFA. 备选变式（教师专享）(2011 南通三模 )如图，圆 O 的直径 AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P，E 为圆O 上一点， AEAC，求证： PDE POC. 证明： 因为AEAC ，AB 为直径，故 OAC OCA OAE.所以 POCOAC OCAOAC OAE EAC.又 EACPDE，所以 PDEPOC. 题型 2求线段长度例 2如图所示，圆O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E，EFCB，EF 交 AD 的延长线于点F，FG 切圆 O 于点 G. (1) 求证： DEF EFA；(2) 如果 FG1，求 EF 的长(1) 证明： 因为 EFCB，所以 BCE FED.又BAD BCD ，所以 BAD FED.又EFDEFD ，所以 DEF EFA.(2) 解： 由(1)得EF FAFD EF，即 EF2 FA FD.因为 FG 是切线，所以FG2 FD FA，所以 EFFG1. 变式训练如图，圆 O 是等腰三角形ABC 的外接圆， AB AC ，延长 BC 到点 D，使 CDAC ，连结 AD 交圆 O 于点 E，连结 BE 与 AC 交于点 F. (1) 判断 BE 是否平分 ABC ，并说明理由；(2) 若 AE 6，BE8，求 EF 的长解： (1) BE 平分 ABC. CDAC ，DCAD. AB AC ，ABC ACB. EBC CAD ，EBC DCAD. ABC ABE EBC， ACB DCAD ， ABE EBC，即 BE 平分 ABC.(2) 由 (1)知CAD EBC ABE. AFE ABE， AEF BEA.AE BEEF AE. AE6，BE8， EFAE2BE36 892. 题型 3证明线段相等例 3如图，在 ABC 中，已知 CM 是 ACB 的平分线， AMC 的外接圆交BC 于点N.若 AC1 2AB ，求证： BN 2AM. 证明：在ABC 中，因为 CM 是ACB 的角平分线，所以AC BCAM BM.又已知 AC 1 2AB，所以AB BC2AM BM.又 BA 与 BC 是圆 O 过同一点B 的割线，所以 BM BA BN BC，即BA BCBN BM.由 可知，2AM BMBN BM，所以 BN2AM. 备选变式（教师专享）如图，圆 O 的直径 AB 2 5，C 是圆 O 外一点， AC 交圆 O 于点 E，BC 交圆 O 于点D，已知 AC AB，BC 4，求 ADE 的周长 解： AB 是圆 O 的直径，AD BC.又 AC AB，AD 是ABC 的中线又 BC4，BD DC 2， AD AB2BD24.由 CE CA CD CB，得 CE45 5. AE2 54 55655.由DEC B C，所以 DEDC2.则ADE 的周长为 665 5. 题型 4证明线段成比例例 4如图，在 ABC 中， B90，以 AB 为直径的圆O 交 AC 于 D，过点 D 作圆O 的切线交BC 于 E，AE 交圆 O 于点 F.求证：(1) E 是 BC 的中点；(2) AD ACAE AF. 证明： (1) 连结 BD，因为AB 为圆 O 的直径，所以BD AC.又B90，所以CB切圆 O 于点 B 且 ED 切圆 O 于点 D， 因此 EBED， 所以 EBD EDB ， CDEEDB90 EBD C，所以 CDEC，得 EDEC， 因此 EBEC，即 E 是 BC 的中点(2) 连结 BF， 显然 BF 是 RtABE 斜边上的高， 可得 ABE AFB ， 于是有AB AFAE AB，即 AB2AE AF，同理可得AB2AD AC，所以 AD ACAE AF. 备选变式（教师专享）如图， PA 切圆 O 于点 A，割线 PBC 交圆 O 于点 B、C，APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D、E，求证：(1) AD AE；(2) AD2DB EC. 证明：(1) AED EPCC，ADE APD PAB.因为 PE 是 APC 的角平分线，所以 EPCAPD.又 PA 是圆 O 的切线，故 CPAB.所以 AED ADE.所以AD AE.(2) PCEPAD， CPEAPDTPCE PADTEC ADPC PA. PEAPDB， APEBPDT PAE PBDTAE DBPA PB.又 PA 是切线，PBC 是割线TPA2PB PCPA PBPC PA.故EC ADAE DB.又 ADAE，所以 AD2DB EC. 1. (2013 广东 )如图， AB 是圆 O 的直径，点C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 使 BCCD，过 C 作圆 O 的切线交AD 于 E.若 AB 6，ED2，求 BC 的值解：依题意易知 ABC CDE ，所以AB CDBC DE，又 BCCD，所以 BC2AB DE 12，从而 BC 2 3. 2. (2013 重庆 )如图，在 ABC 中， C90， A60， AB 20，过 C 作 ABC的外接圆的切线CD，BD CD，BD 与外接圆交于点E，求 DE 的长解： 延长 BA 交切线 CD 于 M. 因为 C90，所以 AB 为直径，所以半径为10.连结 OC，则 OC CD，且 OCBD.因为 OAC 60，所以 AOC 60， OBE60，即 BE OB10 且M30 .所以 OM 2OC20，所以 AM 10.所以 BD 1 2(AM AB) 1020 215，即 DEBDBE1510 5. 3. (2013江苏 )如图， AB 和 BC 分别与圆O 相切于点D、C，AC 经过圆心O，且 BC2OC.求证： AC2AD. 证明： 连结 OD，AB 、BC 分别与圆O 相切于点D、 C， ADO ACB 90. AA， RtADO RtACB.BC ODAC AD. BC2OC2OD ， AC 2AD. 4. (2013 新课标 )如图，直线AB 为圆的切线，切点为B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点E，DB 垂直 BE 交圆于 D. (1) 证明： DBDC；(2) 设圆的半径为1，BC3，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径(1) 证明： 连结 DE，交 BC 与点 G.由弦切角定理得，ABE BCE， ABE CBE， CBE BCE，BECE. DB BE， DE 是直径， DCE90.由勾股定理可得DB DC.(2) 解： 由(1)知， CDEBDE