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七年级(下)数学期中复习,第五章 相交线与平行线的,相交线,两条 直线 相交,两条直线被 第三条所截,一般情况,邻补角,对顶角,邻补角互补,对顶角相等,特殊,垂直,存在性和唯一性,垂线段最短,点到直线的距离,同位角、内错角、同旁内角,平行线,平行公理及其推论,平行线的判定,平行线的性质,两条平行线的距离,平移,平移的特征,命题、定理,知识构图,2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中,,有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。 如图(2).,(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角是对顶角。,3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。,4. 对顶角性质:对顶角相等。,两个特征:(1) 具有公共顶点; (2) 角的两边互为反向延长线。,n条直线相交于一点, 就有n(n-1)对对顶角。,1.互为邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角.如图(1),A,B,C,D,O,在解决与角的计算有关的问题时,经常用到代数方法。,解:设AOC=2x,则AOD=3x,所以2x+3x=180,因为AOC+AOD=180,解得x=36,所以AOC=2x=72,BOD=AOC=72,答: BOD的度数是72,O,A,B,C,D,E,F,例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O,,解:因为直线AB与EF相交与点O,所以AOE+BOE=180,因为AOE=36,所以BOE=180-AOE,=180-36=144,因为DOE=90,所以AOD=AOE+DOE=126,又因为BOC与AOD是对顶角,所以BOC=AOD=126,1.垂线的定义: 两条直线相交,所构成的四个角中,有一个角是90时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。,2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。,3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。,4.如遇到线段与线段,线段与射线,射线与射线,线段或射线与直线垂直时,特指它们所在的直线互相垂直。,5.垂线是直线,垂线段特指一条线段是图形,点到直线距离是指垂线段的长度,是指一个数量,是有单位的。,垂 线,A,B,C,D,O,E,此题需要正确地 应用、对顶角、 邻补角、垂直的 概念和性质。,O,A,D,C,B,由垂直先找到90的角,再根据角之间的关系求解。,C,理由:垂线段最短,例3:如图,要把水渠中的水引到水池C中,在渠岸的什么地方开沟,水沟的长度才能最短?请画出图来,并说明理由。,A,D,C,B,E,F,例4:你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?,思考:三角形的三条垂线有什么特点?,三角形的三条垂线都交于一点;,锐角三角形的三条垂线交点在三角形的内部;,直角三角形的三条垂线交点在直角顶点;,钝角三角形的三条垂线交点在三角形的外部;,例5:你能画出ABC三点到对边的垂线吗?,平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。,2. 两直线的位置关系: 在同一平面内,两直线的位置关系只有两种:(1)相交; (2)平行。,3. 平行线的基本性质:,(1) 平行公理(平行线的存在性和唯一性)经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。,(2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。,4.同位角、内错角、同旁内角的概念,同位角、内错角、同旁内角,指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中,不共顶点的角之间的特殊位置关系。它们与对顶角、邻补角一样,总是成对存在着的。,平 行,1、同位角的位置特征是:,2、内错角的位置特征是:,3、同旁内角的位置特征是:,(1)在截线的同旁,,(2)在被截两直线的同方向。,(1)在截线的两旁,,(2)在被截两直线之间。,(1)在截线的同旁,,(2)在被截两直线之间。,被截线,截线,三线八角,(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。,(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。,(4)三种角判定(3种方法):,在这六种方法中,定义一般不常用。,同位角相等,两直线平行。,内错角相等,两直线平行。,同旁内角互补,两直线平行。,(3)因为ac, ab; 所以b/c,判定两直线平行的方法有三种:,1和2不是同位角,,如图中的1和2是同位角吗? 为什么?,1和2无一边共线。,1和2是同位角,,1和2有一边共线、同向,且不共顶点。,练 一 练,A,C,B,D,E,1,2,答: EAC,答: DAB,答: BAC,BAE , 2,1与哪个角是同旁内角?,2与哪个角是内错角?,例1. 1与哪个角是内错角?,平行线的判定,条件,结论,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,条件,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,结论,两直线平行,夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。,平 行 线 的 性 质,证明:由:1+2=180(已知),(同旁内角互补,两直线平行),1=3(对顶角相等),2=4(对顶角相等),所以3+4=180,(等量代换),AB/CD .,例1. 如图 已知:1+2=180,求证:ABCD。,证明: 由ACDE (已知), ACD= 2,(两直线平行,内错角相等), 1=2(已知), 1=ACD (等量代换),AB CD,(内错角相等,两直线平行),例2. 如图,已知:ACDE,1=2,试证明ABCD。, EFAB,CDAB (已知), EF/CD,(垂直于同一条直线的两条直线互相平行), EFB DCB,(两直线平行,同位角相等), EFB=GDC (已知), DCB=GDC (等量代换), DGBC,(内错角相等,两直线平行), AGD=ACB,(两直线平行,同位角相等),证明:,例3.已知 EFAB,CDAB,EFB=GDC,求证:AGD=ACB。,如图,两平面镜、的夹角为,入射光线AO平行于入 射到上,经两次反射后的反射光线OB平行于,且1=2,3=4,则角=_度,O,B,A,1,2,3,4,5,例4. 两块平面镜的夹角应为多少度?,分析:由题意有OA/,OBa,且1=2,3=4,,由OA/, 1=,OBa,4=,2=5,所以3=4 =5=,因为3+4+5 =180,所以3=60,即 =60,1. 命题的概念: 判断一件事情的句子,叫做命题。 命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。两者缺一不可。,2. 命题的组成: 每个命题是由题设、结论两部分组成。 题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。 命题常写成“如果,那么”的形式。或 “若,则”等形式。 真命题和假命题: 命题是一个判断,这个判断可能是正确的,也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。 真命题就是: 如果题设成立,那么结论一定成立的命题。 假命题就是: 如果题设成立时,不能保证结论总是成立的命题。,命 题,画线段AB=2cm 直角都相等; 两条直线相交,有几个交点? 如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角。 相等的角都是直角;,分析: 因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子,所以(1)、(3)不是命题。解. (1)、(3)不是命题; (2)、(4)、(5)是命题; (2)、(4)都是真命,(5)是假命题。,例1. 判断下列语句,是不是命题,如果是命题,是真命题,还是假命题?,A,B,C,D,分析: 不妨选择(1)与(2)作条件,由平行性质 “两直线平行,同旁内角互补”可得A=C,故满足要求。由(1)与(3)也能得出(2)成立,由(2)与(3)也能得出(1)成立。,解: 如果在四边形ABCD中,AB/DC、AD/BC,那么A=C。,例2. 如图给出下列论断: (1)AB/CD (2)AD/BC (3)A=C以上,其中两个作为题设,另一个作为结论,用 “如果,那么”的形式,写出一个你认为正确的命题。,1. 平移变换的定义: 把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,这样的图形运动,叫做平移变换,简称平移。 平移的特征: (1)平移不改变图形的形状和大小。(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,对应点连结而成的线段平行且相等。 决定平移的因素是平移的方向和距离。 经过平移,图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。 经过平移,对应角相等;对应线段平行且相等;对应点所连的线段平行且相等。,平 移,站在运动着的电梯上的人 左右推动的推拉窗扇 小李荡秋千运动 躺在火车上睡觉的旅客,分析: A、B、D属平移,在一个位置取两点连成一条线,在另一个位置再观察这条线段,发现是平行的,而C同样取两点连成一条线段,运动到另一位置时,可能已不平行,解: 选C,例1. 在以下生活现象中,不是平移现象的是,例2. 如图所示,ABC平移到ABC的位置,则点A的 对应点是_,点B的对应点是_,点C的对应点是_。 线段AB的对应线段是_,线段BC的对应线段是 _,线段AC的对应线段是_。BAC的对应 角是_,ABC的对应角是_,ACB的 对应角是_。ABC的平移方向是_ _,平移距离是_ _。,A,B,C,A,B,C,A,B,C,沿着射线AA,(或BB,或CC)的方向,线段AA的长,(或线段BB的长或线段CC的长,填空题,小结:,1、邻补角、对顶角的概念和性质,2、垂线画法、垂线段的性质,3、平行线的判定和性质,4、命题的题设与结论以及命题的真假,5、平移的概念和平移的性质,人教版-七年级(下)数学期中复习,第六章 实数,本章知识结构图,乘方,开方,开平方,开立方,平方根,立方根,有理数,无理数,实数,互为逆运算,算术平方根,负的平方根,平方根、立方根概念及性质,1.算术平方根的定义:,一般地,如果一个正数x的平方等于 a,即 =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 , 读作“根号a”,a叫做被开方数。,特殊:0的算术平方根是0。,如果一个数X的平方等于a,即X2=a,那么这个数X叫做a的平方根(二次方根),a的平方根表示为,x2 = a,求一个数a的平方根的运算叫做开平方,求一个数a的立方根的运算叫做开立方。,2.平方根的定义,平方根的性质:,1.一个正数有两个平方根,它们互为相反数。2.负数没有平方根。3.0的平方根是0.,4.立方根的定义:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根记作 .,5.立方根的性质:,平方根、立方根概念及性质,你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗?,表示方法,的取值,性 质,开 方,正数,0,负数,正数(一个),0,没有,互为相反数(两个),
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