第2章 经典板理论的基本方程 1.1 极坐标系 1.1.1 经典方程 1.1.2 方程的解 1.2 椭圆坐标系 1.2.1 经典方程 1.2.2 方程的解 1.3 直角坐标系 1.3.1 经典方程 2.3.2 方程的解 1.4 斜交坐标系 1.4.1 经典方程 1.4.2 方程的解 参考文献 Leissa A W. Vibration of plates. NASA SP-160, 1969,Q:为什么要在不同坐标系下建立板的经典方程？,第2章 经典板理论的基本方程,均质等厚板弯曲横向位移w的经典运动微分方程为,（z2.1）,其中 D为弯曲刚度,E为杨氏模量，h是板的厚度，n 为泊松比，r 为板的质量面密度。4 = 22，2为拉普拉斯算子。,当自由振动时，运动可假设为,当自由振动时，运动可假设为w为圆频率W只是位置的函数。将（2.3）代入（2.1），得,其中,将此方程（2.4）分解为因子方程会更方便,（z2.2）,（z2.5）,（z2.4）,（z2.6）,（z2.3）,Q:为什么要当自由振动时，运动可假设为2.3？ Q:k在波的传播中叫做什么概念？,第2章 经典板理论的基本方程,由线性微分方程理论，方程的全解可由下列方程的解叠加而得,（z2.7）,对于无质量弹性支承的板（或弹性基础上的板），方程（2.1）变为,为支承刚度，量纲为单位接触面积、单位挠度的力。（2.8）的解仍可设为（2.3），但（2.5）中的k变为,注意，以上所有方程都是与坐标无关的。,（z2.8）,（z2.9）,Q:线性微分方程的具体哪个理论？,Q：2.3中不是有x,y等直角坐标系的坐标吗。那为何上述方程不是以上所有方程都是与坐标无关的？,第2章 经典板理论的基本方程,1.1 极坐标系,极坐标系中一点P示于图2.1, 在极坐标中的Laplacian 算子表达式为,用位移表示的弯矩和扭矩为,横向剪力由下式给出,（z2.11）,（z2.10）,（z2.12）,图2.1,边界反作用剪力表达式为,（z2.13）,第2章 经典板理论的基本方程,板的应变能为,（z2.14）,其中 dA = r dr /dq? 。,1.1.2 方程的解,将极坐标形式的振型函数W(r, q)展成q 的Fourier 级数,（z2.15）,（z2.16）,(2.15)代入（2.7），得关于Wn(r)的两个微分方程,关于的两个微分方程与以上方程完全相同,第2章 经典板理论的基本方程,方程（2.16）具有Bessel方程的形式，其解为,（z2.17）,Jn、Yn 是第一类和第二类Bessel函数，In、Kn 是第一类和第二类变型Bessel函数，系数An，Dn决定模态形状，由边界条件确定。因此极坐标形式下，方程（2.4）的通解为,（z2.18）,Q：极坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子.,第2章 经典板理论的基本方程,1.2 椭圆坐标系,椭圆坐标示于图2.2，与直角坐标x，y的关系为,其中2c为内焦距。分离实部和虚部得,1.2.1 经典方程,（z2.20）,（z2.19）,（z2.21）,图2.1,用位移表示的弯矩和扭矩为,（z2.22）,椭圆坐标中Laplacian算子的表达式为,第2章 经典板理论的基本方程,1.2.2 方程的解,（z2.23）,已经证明椭圆坐标下，方程（2.7）的解由两部分组成,其中 是m阶Mathieu函数和修正Mathieu函数,为积分常数。,（z2.24）,（z2.16）,方程（2.7）的全解为,（z2.25）,第2章 经典板理论的基本方程,对于包含坐标原点的固体域，正则性条件要求将（2.24）式中的一半项丢弃，全解变为,（z2.26）,Q：椭圆坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子.,第2章 经典板理论的基本方程,1.3 直角坐标系,直角坐标系中的一点P示于图2.3 1.3.1 经典方程,用位移表示的弯矩和扭矩为,直角坐标系中Laplacian算子为,（z2.28）,（z2.27）,（z2.29）,图2.3,边界反作用剪力表达式为,（z2.30）,横向剪力由下式给出,（z2.31）,第2章 经典板理论的基本方程,板的应变能为,（z2.32）,其中dA = dx dy,2.3.2 方程的解直角坐标下，方程（1.4）的一般解可将W(x, y)对变量x或y展成Fourier级数得到。若对变量x展成Fourier级数：,(2.33)代入（2.7），得关于Ym(x, y)的两个微分方程,（z2.33）,（z2.34）,关于?的两个微分方程与以上方程类似。其中,？za = mp /a,Q:为什么值得到两个微分方程？如何得到的？ Q;a 为什么等于 ?,mp /a,当 ?时，方程（2.34）的解为,第1章 板的基本方程,因此方程（1.4）的全解为,（z1.35）,当 时，方程（2.34）的解为,（z1.36）,（z1.37）,第2章 经典板理论的基本方程,1.4 斜交坐标系,（z2.38）,一点P的斜交坐标x、h示于图2.4。斜交坐标与直角坐标的关系为,1.4.1 经典方程斜交坐标系中的Laplacian算子为,用位移表示的弯矩和扭矩为,（z2.39）,（z2.40）,横向剪力由下式给出,第1章 板的基本方程,其中,边界反作用剪力表达式为,板的应变能为,其中dA = cos a dx dh ?,（z2.43）,（z2.42）,（z2.41）,1.4.2 方程的解 斜交坐标系中，还没有方程（1.4）的分离变量形式的一般解。,Q：椭圆坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子. Q:为什么希望有分离变量形式？,