第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 多维随机变量的函数的分布,3.1 二维随机变量及其分布,1、二维随机变量设S=e是随机试验E的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论X和Y的性质是不够的，需要把(X,Y)作为一个整体来讨论。随机变量X常称为一维随机变量。,一、二维随机变量及其分布函数,定义3.1 设(X,Y)是二维随机变量，二元实值函数 F(x,y)=P(XxYy)=P(Xx,Yy) x(-,+),y(-,+) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数， 或称为 X与Y的联合分布函数。 即F(x,y)为事件Xx与Yy同时发生的概率。,2、二维随机变量的联合分布函数,几何意义： 若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值F(x0,y0)就表示随机点(X,Y)落在区域 -X x0， -Y y0 中的概率。如图阴影部分：,(x0,y0),x,y,O,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 )，则随机点(X,Y)落在矩形区域x1X x2，y1Yy2内的概率可用分布函数表示为 P(x1X x2，y1Yy2) F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1),(x1, y1),(x2, y2),O x1 x2 x,y1,y2,y,分布函数F(x, y)具有如下性质：,(1)对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。 (2)F(x, y)是变量x或y的非降函数，即 对任意yR, 当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR, 当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。 (3),(4)函数F(x,y)关于x是右连续的，关于y也是右连续的，即对任意xR，yR，有,(5)对于任意(x1, y1)，(x2, y2)R2，(x1x2，y12),解 (1)由联合分布函数性质2可知,解得,(2),(3)由X的分布函数可得,故,练习 .已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,二、二维离散型随机变量及其分布,1、二维离散型随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。,2、联合分布律设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取值为(xi,yj)，i=1,2,，j=1,2,若(X,Y)取数对(xi,yj)的概率P(X=xi, Y=yj)=pij，满足(1)pij0 ；(2),则称P(X=xi, Y=yi)=pij ，i=1,2,，j=1,2,为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律或随机变量X与Y的联合分布律 律,二维离散型随机变量的联合分布律也可用表格形式表示为：,例3.3 设袋中有a+b个球，a只红球，b只白球。今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋中，并再加入与所取的球相同颜色的球c只，然后再从袋中任取一球，设,求二维随机变量(X,Y)的分布律。 解 X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1。,二维离散型随机变量的边缘分布律,由(X,Y)的联合分布律P(Xxi,Yyjpij，i,j1,2,i1,2,j1,2,其中pi.和p.j分别为表示,的记号。,它们分别是事件(X=xi)和(Y=yj) 的概率，且有,pi.0，,p.j0，,称P(Xxi)pi.，(i1, 2, ) 为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布律；,称P(Yyj)p.j，(j1, 2, ) 为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布律。,以表格形式表示为,例3.6 设随机变量(r.v.)X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个r.v.在1至X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律。,解 事件(X=i,Y=j)中i的取值为1、2、3、4，而j取不大于i的整数，因此,i=1,2,3,4，ji,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,X和Y的边缘分布律分别为,注意： 联合分布律可以确定边缘分布律，而边缘分布律不一定能确定联合分布律。,二维连续型随机变量及其概率密度,1、定义设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使对任意实数x，y，有,则称 (X,Y)为二维连续型随机变量，且称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合概率密度(联合密度函数) 可记为 (X,Y) f (x,y)，(x,y)R2,2、联合密度f(x, y)的性质 (1)非负性：f(x,y)0，(x,y)R2; (2)归一性：,(3)若f (x, y)在(x0,y0) 处连续，则有,事实上,(4)设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变量(X,Y)落在G内的概率是概率密度函数f(x, y)在G上的积分，即,例3.7 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为,(1)求常数k；(2)求概率P(X+Y1)。,解 (1),解得k=15,O 1 x,1,y,y=x,x+y=1,(2),练习： 设二维随机变(X,Y)量具有概率密度,(1)确定常数C；(2)求概率P(XY)。,O x,y=x2,y=x,y,解 (1),(2)确定积分区域,二维连续型随机变量的边缘密度函数,设(X, Y)是二维连续型随机变量，联合密度为f(x,y)，此时X、Y也是连续型随机变量， 称X的密度函数fX(x)为(X, Y)关于X的边缘密度函数，且有,称Y的密度函数fY(y)为(X, Y)关于Y的边缘密度函数，且有,例3.10 设二维随机变量,求边缘密度函数fX(x)和fY(y),解 当0x1时,O 1 x,y,1,y=x2,y=x3,当x0或x1时，fX(x)=0，所以,当0y1时,当y0或y1时，fY(y)=0，所以,二维连续型随机变量的常用分布,1、均匀分布 设G为xoy平面上的有界区域，G的面积为A，若二维随机变量(X, Y)的联合密度函数为,则称二维随机变量(X, Y)在G上服从均匀分布。,若G1是G 内面积为A1的子区域，则,即：此概率仅与G1的面积有关(成正比)，而与G1在G内的位置无关。,例3.11 设(X,Y)服从如图区域G上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P(Y2X)； (3)求F(0.5,0.5)。,O 0.5 1 x,G,解 (1)区域G的面积为1,(2),G1,y=2x,y,区域G1的面积为,1,P(Y0、20 | |1，则称(X, Y) 服从参数为1，1，2，2，的二维正态分布，记为,2、正态分布若二维随机变量(X, Y)的联合密度函数为,二维正态分布的重要性质：若(X,Y)服从二维正态分布，,则,同理可得,由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与无关，说明不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布的随机变量， (X,Y)不一定是服从二维正态分布。 二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真。,分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。 事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)，F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) 称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数， 或随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数。,定义 若(X1, X2, , Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无限多个点，称(X1, X2, , Xn)为n维离散型随机变量，称 P(X1=x1,X2=x2,.Xn=xn)， 为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布律。,则称(X1, X2, , Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,xn)为n维随机变量(X1, X2, ,Xn)的概率密度。,定义 n维随机变量(X1, X2, , Xn)， 如果存在非负的n元函数f(x1,x2,xn)使对任意的 n元立方体,求(1)P(X0)，(2)P(X1)，(3)P(Y y0),练习 随机变量(X，Y)的概率密度为,y,D,答: P(X0)=0,O x,1,y0,y0,作业 P71,3，7，9,3.2 随机变量的独立性,一、两个随机变量的独立性 定义 设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，FX(x)，FY(y)分别是X与Y的边缘分布函数，若对一切x,yR，均有 P(Xx,Yy)=P(Xx) P(Yy) 即 F(x,y)= FX(x)FY(y) 则称随机变量X与Y是相互独立的。 此时的边缘分布可确定联合分布 随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件(Xx)与事件(Yy)相互独立。,定理1 随机变量X，Y相互独立的充分必要条件 是X所生成的任何事件与Y所生成的任何事件相互独立。即，对任意的实数集A，B有：,定理2 如果随机变量X，Y相互独立， 则对任意函数g1(x), g2(y)有 g1(X), g2(Y)相互独立,* *若(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 P(X=xi,Y=yj)= pij ，i,j=1,2,则X与Y相互独立的充分必要条件是对任意i，j，P(X=xi,Y=yj)= P(X=xi)P(Y=yj)，即pij =pipj* *若(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是 对任意的x和 y f(x,y)=fX(x)fY(y) 。,例3.13 已知(X,Y)的联合分布律为,试确定常数a,b，使X与Y相互独立。,