导数是微分学的核心概念, 是研究函数,1 导数的概念,一、导数的概念,化率”, 就离不开导数.,三、导数的几何意义,二、导函数,态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变,与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性,返回,一、导数的概念,一般认为, 求变速运动的瞬时速度，求已知曲线,别在研究瞬时速度和曲线的,牛顿 ( 16421727, 英国 ),两个关于导数的经典例子.,切线时发现导数的. 下面是,微分学产生的三个源头. 牛顿和莱布尼茨就是分,上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是,1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是,当 t 越来越接近 t0 时，平均速度就越来越接近 t0,时间 t 的函数, 即其运动规律是 则在某,(1),时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限,时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度是,2. 切线的斜率 如图所示,存在时, 这个极限就是质点在 t0 时刻的瞬时速度.,其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线,点击上图动画演示,点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这,PT. 为此我们在 P 的邻近取一,需要寻找曲线 y = f (x) 在,条割线的斜率为,答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率.,的极限若存在，则这个极限,会是什么呢？,设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时，,(2),上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同,x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率).,均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点,的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平,D y = f (x) f (x0) 与自变量增量 D x = x xo 之比,一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量,定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定,义，如果极限,存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在,如果令 Dx = x x0, Dy = f (x0 +Dx) f (x0), 导数就,x0 的导数，记作,可以写成,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这说明导数是函数增量 D y 与自变量增量 D x之比,的极限,即 就是 f (x) 关于 x 在 x0 处的变化,点 x0 不可导.,率. 如果 (3) 或 (4) 式的极限不存在, 则称 在,在点,的某个右 邻域内,五、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),定义2 . 设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 函数,在点,且,存在,简写为,可导的充分必要条件,是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导.,证 因为,处不可导.,例4 证明函数,在 x = 0 处不可导.,不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导.,证 因为当 时,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导, 则 f 在点 x0,连续.,值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可,其中 D(x) 是熟知的狄利克雷函数.,例5 证明函数 仅在 x = 0 处可导,处连续，却不可导.,导的必要条件. 如例3、例4 中的函数均在 x = 0,不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.,由于导数是一种极限, 因此如同左、右极限那样,证 当 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0,可以定义左、右导数 ( 单侧导数 ).,二、导函数,如果函数 f 在区间 I 上的每一点都可导 (对于区间,(7),定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的,则称 f 为区间 I 上的可导函数. 此时, 对 I 上的任,端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数) ,三、 导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2. 求函数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,