第二部分第五课时：方程与几何的综合,思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练,思想方法提炼,1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等 知识解决有关几何问题；,2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来， 通过方程的性质和几何图形的性质实行转化.,感悟、渗透、应用,【例2】已知AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交O于D，DE切O于D，BEDE，垂足是E，BD=10，DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DEBE)，求AC的长.,【解析】 已知半径，一般先构造90的圆周角， 故可以连AD，由此可容易 推得RtBDARtBACRtBED，由一元二次方程根与系数关系和勾股定理建立关于DE、BE、m的方程组，解之，于是RtBED可解.欲求AC，只要先求出AB，而这通过相似三角形易求得.,解：DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DEBE)且BEDE，BD=10连接AD，AB是直径ADB=90 DE是O的切线EDB=DAB RtBDERtBAD ABC=DBE， AB=AC切O于ACAB=90 RtCABRtDEB AC=,【例3】已知：ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. (1)k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形? (2)k为何值时，ABC是等腰三角形?并求ABC的周长.,【分析】AB、AC是方程的两根，则根据根与系数的关系以及ABC是以BC为斜边的直角三角形联立关于k的方程，即可求得k的值；而ABC为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定k值，从而求得等腰三角形的周长.,解：(1)AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根 AB+AC=2k+3，ABAC=k2+3k+2 又ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5 AB2+AC2=BC2(AB+AC)2-2ABAC=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 k2+3k-10=0k1=-5或k2=2 当k=-5时，方程为x2+7x+12=0 解得x1=-3，x2=-4(舍去) 当k=2时，方程为x2-7x+12=0 解得x1=3，x2=4 当k=2时，ABC是以BC为斜边的直角三角形.,(2)若ABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况. =(2k+3)2-4(k2+3k+2)=10 ABAC，故第一种情况不成立； 当AB=BC，或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根 即25-5(2k+3)+k2+3k+2=0k2-7k+12=0 k1=3或k2=4 当k=3时，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5 等腰三角形的三边长分别是5、5、4，周长是14. 当k=4时，x2-11x+30=0x1=5，x2=6 等腰三角形的三边长分别是5、5、6，周长为16， 故当k=3或k=4时，ABC为等腰三角形，周长分别为14或16.,【例4】已知，在RtABC中，C=90，a、b、c分别是A、B、C的对边，tan A、tan B是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根， 求：(1)求k的值；(2)若c=10，且ab，求a、b的值.,【分析】利用根与系数的关系列方程即可求k的值；再利用三角函数知识可求出a、b的边长.,解：(1)tan Atan B=12k2-37k+26 则由C=90知A+B=90即tan Atan B=1 12k2-37k+26=1(12k-25)(k-1)=0 k=25/12或k=1 当k=1时 ，方程变为x2-x+1=0因0不合题意舍去 当k=25/12，方程变为x2-25/12x+1=0 因0成立 k的值为25/12.,(2)又tan A+tan B=ktan A+(tanA)2- (tan A)+1=012(tan A)2-25(tan A)+12=0 tan A=3/4或tan A=4/3 又abtan A=a/b1tan A=4/3,【例5】如图所示，锐角三角形ABC内接于O，高AD、BE交于点H，过点A引圆的切线与直线BE交于点P，直线BE交O于另一点F，AB12的长是关于x的方程 x2- x+ (sin2C- sin C+1)=0的一个实数根. (1)求C的度数与AB的长； (2)设BH=x，BP=y，求y与x间的函数关系式；当y=3 时，试判断ABC的形状，并说明理由.,【分析】 (1)利用根的判别式0可迅速求得；,(2)要寻找y与x的关系式，就要寻找y、x所在的两个 三角形相似，故即证PBAABH；再利用y与x的关 系式，已知y值即可求出x的值.在RtAHE和RtABE中 运用勾股定理及三角函数知识求出HE、BE的长度，最后 计算出BAC=60=C即可.,解：(1)方程有实根=(-1/2)2-411/4(sin2C-3sin C+1)0 即-(sin C- )20sin C= ，C=60由=0知x1=x2，而x1+x2=2x1=1/2x1=1/4 即AB12=14AB=3. (2)ADBC，BEAC P+PAC=BAD+ABC=90 又PA切O于APAC=ABC P=ABHPBAABHx即y=,当y= 时，即 在RtDAC中，C=60DAC=30 在RtAHE中，设HE=m，则AH=2m，AE= m 在RtAEB中，AE2+BE2=AB2 =32m=- (舍)m=BE=HE+HB=sin BAE=BAE=60BAE=C=60 ABC为等边三角形.,课时训练,1.斜边长为13的直角三角形的两直角边长为方程x2-(m- 1)x+3(m+2)=0的两根，求其内切圆的半径r.,解：设两直角边长为a、b，则 a2+b2=(a+b)2-2ab=(m-1)2-6(m+2)=132 m=18或m=-10 又a+b=m-10m1m=-10舍去 a+b=m-1=18-1=17r= (a+b-13)= (17-13)=2.,2.(2002年北京东城区)在RtABC中，C=90，斜边c=5，两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求RtABC中较小锐角的正弦值.,解：a、b是方程x2-mx+2m-2=0的两个根 a+b=m，ab=2m-2. 在RtABC中，由勾股定理得a2+b2=c2 即(a+b)2-2ab=25. m2-2(2m-2)=25m=7或m=-3(舍) 当m=7时 ，原方程x2-7x+12=0x=3或x=4. 假设a=3则sin A=ac=RtABC中较小锐角的正弦值为 .,3.(2002年济南卷)在等腰三角形ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a=3，b、c是关于x的方程x2+mx+2- m=0的两个实数根，求ABC的周长.,解：=m2-4(2-12m)=m2+2m-8 方程有两个实数根0m2+2m-80 m-4或m2 又b、c是x2+mx+2- m=0的两个实数根b+c=-mbc=2- m当b、c为腰时即b=c 而此时m-4有意义.周长=a+b+c=3+2+2=7.,当b、c中只有一个为腰时，不妨设b为腰，则有b=a=3而此时m=225有意义. 周长=a+b+c=3+3+75=375. 综上所述，周长为7或375.,