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第十一章 图形的全等,你知道吗?,1、能够完全重合的图形叫做全等形。 2、两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 3、如果两个三角形全等,那么这两个三角形的对应边相等、对应角相等。 4、判定两个三角形全等的方法: (1)SAS (2)ASA (3)AAS (4)SSS (5)HL,例1、现有足够的22、33的正方形和23的长方形图片A、B、C,请在下面给出的方格纸中,按下列要求分别画出一种拼法示意图。(每一个小正方形的边长均为1,拼图时,要求每两个图片之间既无缝隙,也不重叠) (1)选取A型,B型图片各1块,C型图片2块,拼成一个正方形; (2)选取A型图片4块,B型图片1块,C型图形4块,拼成一个正方形; (3)选取A型图片3块,B型图片1块,C型图片若干块,拼成一个长方形。,解答(1)中拼成的正方形面积是25(即在边 长为5的正方形内分割出A、B型图片各1块, C型图片2块。,A B C,(2)中拼成的正方形面积是49,方法同上。,(3)解答如图所示。,例2、现给出下列条件ADCAEB;DCEB;BDCE。请从上面的条件中选择1个,填在下列问题中的横线上,再解答. 如图,点D,E分别在AB、AC上,且ADAE,使ADCAEB。请说明理由。,F,B,A,C,D,E,分析(1)若选择,在ADC和AEB中,(2)若选择,在ADC和AEB中,ADAE,BDCE ADBDAEEC 即:ABAC,例3、如图ADBEDB,EDBEDC,点B,E,C在同一条直线上 (1)BD平分ABE吗? (2)DE垂直BC吗? (3)点E平分线段BC吗? 请分别说明理由。,解:ADBEDB,EDBEDC ABDEBD,DEB=DEC,BE=EC,BD平分ABE,点E平分线段BC,又DEBDEC1800 DEBDEC900 即:DE垂直BC吗?,例4、如图在66的方格纸中,我们把像ABC这样顶点在网格上的三角形叫做格三角形。 (1)试在方格纸上画出与ABC有 公共顶点,且全等的三角形; (2)试在方格纸上画出与ABC有 一条公共边,且全等的三角形; (3)请计算一下与ABC全等的格 点三角形的个数。,C,A,B,分析:几何图形的特征主要体现在它的形状、位置、大小。而本 题中的3个问题从点到边,再到位置层层递进,突出了分类思想, 也注重了数学学习方法的探索。,链接1,链接2,例5、如图,已知ABAE,BCED,BE,BAFEAF,试说明AFCD。,解答:连结AC、AD,在ABC与AED中,ABAE,BE,BCED,根据“SAS”,ABCAED,再根据“全等三角形对应边、 对应角相等”,ACAD BACEAD,又BAFEAF,BAFBACEAFEAD,即:CAFDAF,在CAF与DAF中,ACAD,CAFDAF,AFAF(公共边),根据“SAS”,CAFDAF,CFADFA,而CFADFA1800,CFADFA900,即:AFCD,例6、全等三角形又叫合同三角形(如图),平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形,假设ABC和A1B1C1是合同三角形,且点A、B、C分别与点A1、B1、C1对应,当沿周界ABC A及A1B1C1A1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形(如图1);若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图2)。两个真正合同三角形都可以要平面内通过平移或旋转使它们重合,而两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中的一个翻转1800。下面各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是( ),A B C D,B,例7、如图,在ABC中,AD为BC边上的中线,试说明ABAC与2AD之间的大小关系。,E,解:延长AD至E,使DEAD,在ABD与ECD中,BDDC(中线的定义) ADBEDC(对顶角相等) ADDE,ABDECD(SAS),根据全等三角形对应边相等 ABEC,在AEC中:ACECAE,又AE2AD,ABAC2AD,小结:对于三角形的中线, 我们可以通过延长中线的1 倍,来构造全等三角形。,联想:对于三角形的角平分 线,有时我们也可进行翻折 构造全等三角形。,例8、已知在ABC中,AD是角平分线,且ACABBD 试说明:B2C,E,解:在AC上截取AEAB,连结DE,在AED与ABD中,AEAB EADBAD(角平分线的定义) ADAD(公共边),AEDABD(SAS),根据全等三角形对应边、对应角相等 EDBD,AEDB,又AC=AB+BD,CE=DE,根据等腰三角形的两个底角相等 CEDC,又AEDCEDC,AED2C,B2C,例9、传说在19世纪初,一位将军率领部队在一河边与敌军激战。为了使炮弹准确落到敌军阵地,将军面向敌军阵地的方向在河这岸站好,将帽子压低,使视线沿着帽沿恰好落在河对岸的边线上(如图)。然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上,接着,他用步测的方法量出自己与那个点的距离。将军说这个距离就是河的宽度。你能理解其中的道理吗?,解:在ACD与ABD中,CDABDA900 ADAD CADBAD,ACDABD(ASA),根据全等三角形对应边相等 CDBD,例10、如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC DCB,ABDC,AEDF (1)BF与CE相等吗?为什么? (2)当E、F相向运动,形成图2时,BF与CE还相等吗?请说明理由。 (3)你认为当E、F运动时,还有几种与上述不同的图形?分别对BF与CE和关系加以说明。,解:ADBC DABABC1800 ADCDCB1800,又ABC=DCB DAB=ADC,又AEDF AEADDFAD 即EDAF,在EDC与FAB中 EDAF EDCFDB DCAB,EDCFAB(SAS),BFCE(全等三角形对应边相等),同学们,这节课快结束了,通过学习你知道了什么呢?,再见!,
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