信号与系统 (Signals & systems),教师：郑丹玲 zhengdl001tom.com,2,2018年9月7日3时34分,第二章 LTI连续系统的时域分析法,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法2.3 LTI连续系统的单位冲激响应2.5 卷积积分2.2 LTI离散系统的经典时域分析法 2.4 LTI离散系统的单位序列响应2.6 卷和,3,2018年9月7日3时34分,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,2.1.1 微分方程的经典解,描述LTI连续系统的数学模型是常系数线性微分方程，一般形式为,1.齐次通解,4,2018年9月7日3时34分,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,特征方程,解得特征根,按照P53页表2-1写出通解形式,代入初始条件，确定待定系数，得到通解表达式,5,2018年9月7日3时34分,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,微分算子,2.1.2 算子符号表示,积分算子,6,2018年9月7日3时34分,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,用算子符号表示微分方程,化简为,7,2018年9月7日3时34分,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,算子表示的是微分、积分运算，代数运算规则不能简单照搬。下面讨论算子的运算规则：,（1）可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开,（2）算子方程左右两端的算子符号p不能随便消去。,8,2018年9月7日3时34分,2.1 LTI连续系统的经典时域分析法,（3）p和1/p的位置不能互换。,9,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,单位冲激响应（Unit impulse response） 单位冲激函数(t)激励下系统的零状态响应，简称冲激响应，用h(t)表示。,10,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,利用阶跃响应与冲激响应的关系求解h(t),11,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,例：求图示电路的冲激响应h(t)。,解：阶跃响应,冲激响应,12,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,利用微分方程的经典法求解,13,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,14,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,从而,或,15,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,(1),特征根,利用微分方程的经典法求解,从而,16,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,又,知,所以,17,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,(2),特征根,18,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,根据式(*) 和式(*)即可确定待定系数K1和K2,19,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,(3),设,则,说明：对高阶微分方程，方法同上。,20,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,例：求如下系统的h(t),解：,特征根,从而,设,21,2018年9月7日3时34分,2.3 LTI连续系统的单位冲激响应,因,知,于是,所以,22,2018年9月7日3时34分,2.5零状态响应-卷积积分,对线性时不变系统,23,2018年9月7日3时34分,2.5 零状态响应-卷积积分,卷积积分,24,2018年9月7日3时34分,2.5 零状态响应-卷积积分,例：如图示电路，求零状态响应uC(t)。,解：(1)求h(t),单位阶跃响应,从而有,25,2018年9月7日3时34分,2.5 零状态响应-卷积积分,(2)求零状态响应,26,2018年9月7日3时34分,2.5 零状态响应-卷积积分,时域卷积法 将激励信号分解求h(t) 求系统的零状态响应,27,2018年9月7日3时34分,2.5.1卷积的图解,按如下步骤进行：,28,2018年9月7日3时34分,2.5.1 卷积的图解,例：求y(t)=x(t)*h(t),(1) x(t)x()， h(t)h(),(2) h() h(-),29,2018年9月7日3时34分,2.5.1 卷积的图解,(2) h() h(-),(3) h(-) h(t-),(4) x()h(t-),30,2018年9月7日3时34分,2.5.1 卷积的图解,31,2018年9月7日3时34分,2.5.1 卷积的图解,32,2018年9月7日3时34分,2.5.1 卷积的图解,结论 等宽方波卷积的结果是等腰三角波 三角波的宽度是方波宽度的2倍 三角波的高度是两方波完全重叠时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积 不等宽方波卷积的结果是等腰梯形波 梯形波上边的宽度是两方波宽度之差 梯形波的高度是宽度较小的方波完全包含于宽度较大的方波时两方波相乘波形与坐标轴围成的面积y(t)=x(t)*h(t)的最小截止横坐标等于x(t)和h(t)的最小截止横坐标相加， y(t)的最大截止横坐标等于x(t)和h(t)的最大截止横坐标相加,33,2018年9月7日3时34分,2.5.1 卷积的图解,例：若y(t)=x(t)*h(t)，求y(1),解：依题意作右图示,y(1) =0.5,34,2018年9月7日3时34分,2.5.1 卷积的图解,对上例，完成y(t)=x(t)*h(t)。,35,2018年9月7日3时34分,2.5.2 卷积积分限的确定,法(一) 通过作图确定积分限，如上面的图解法 法(二) 利用阶跃信号确定积分限,对上例：,36,2018年9月7日3时34分,2.5.2 卷积积分限的确定,37,2018年9月7日3时34分,2.5.2 卷积积分限的确定,等式右端第一项,t 的定义域(上限大于下限),38,2018年9月7日3时34分,2.5.2 卷积积分限的确定,等式右端第二项,39,2018年9月7日3时34分,2.5.2 卷积积分限的确定,等式右端第三项,40,2018年9月7日3时34分,2.5.2 卷积积分限的确定,等式右端第四项,41,2018年9月7日3时34分,2.5.2 卷积积分限的确定,从而,注意：定义域的确定,42,2018年9月7日3时34分,2.5.3卷积积分的性质,43,2018年9月7日3时34分,2.5.3卷积的运算性质,卷积代数 交换律 y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t) 分配律 y(t)=x(t)*h1(t)+ h2(t) =x(t)* h1(t)+ x(t)* h2(t) 结合律 y(t)=x(t)*h1(t)* h2(t) =x(t)* h1(t)* h2(t),并联,级联,44,2018年9月7日3时34分,2.5.3 卷积的运算性质,卷积微分与积分 设 y(t)=x(t)*h(t) 则 y(t)=x(t)*h(t)= x(t)*h(t)y(-1)(t)=x(-1)(t)*h(t)= x(t)*h(-1)(t) y(t)=x(t)*h(t)= x(t)* h(-1)(t)= x(-1)(t)*h(t)= x(t)* h(-2)(t)= x(-2)(t)*h(t),45,2018年9月7日3时34分,2.5.3 卷积的运算性质,注意：上述性质应用的条件x(t)和h(t)均为可积函数。,一般而言,46,2018年9月7日3时34分,2.5.3 卷积的运算性质,y(t)=x(t)*h(t) 卷积积分,卷积积分的物理含义：把任意信号分解为连续的冲激信号之和，分别求其响应后再叠加 杜阿密尔积分的物理含义：把任意信号分解为连续的阶跃信号之和，分别求其响应后再叠加,y(t)=x(t)*h(-1)(t)=x(t)*s(t) 杜阿密尔积分,47,2018年9月7日3时34分,2.5.3 卷积的运算性质,例：求y(t)=x(t)*h(t),48,2018年9月7日3时34分,2.5.3 卷积的运算性质,49,2018年9月7日3时34分,2.5.3 零状态响应,例：如图所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为 ， 。求总的系统的冲激响应, (t),h(t),50,2018年9月7日3时34分,2.5.3 零状态响应,解: 根据题意，可得,