康杰中学康杰中学 2017201720182018 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高二数学（文）试题高二数学（文）试题 一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题的分在每小题的 4 4 个选项中，只有一个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1. 已知 为虚数单位，复数，则复数 的虚部为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得， 所以复数 的虚部为选 B 2. 某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生 是鹅.”结论显然是错的，是因为 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 【答案】C 【解析】试题分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理 证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能 是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论 解：大前提的形式：“鹅吃白菜” ，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先 生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比 不符合三段论推理形式， 推理形式错误， 故选：C 点评：本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理三段论 推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的子集， 那么 S 中所有元素都具有性质 P三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提， 它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合 起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一 种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的 形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论 3. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所 示，则下列座位号码符合要求的应当是 A. 48，49 B. 62，63 C. 75，76 D. 84，85 【答案】D 【解析】由已知图形中座位的排列顺序， 可得：被 5 除余 1 的数，和能被 5 整除的座位号临窗， 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的 4 组座位号， 只有 D 符合条件 故选 D 4. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为 A. 中至少有两个偶数或都是奇数 B. 都是奇数 C. 中至少有两个偶数 D. 都是偶数 【答案】A 【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否 定成立，而命题：“自然数 中恰有一个偶数”的否定为：“” 中“ 个、 个、 个偶数”即中至少有两个偶数或都是奇数，故选 C. 5. 已知的取值如下表： 与 线性相关，且线性回归直线方程为，则 = A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得， 样本中心为 又回归直线过点， ， 解得选 B 6. 如图是选修 12 第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“分析 法” ，则应该放在图 A. “”处 B. “”处 C. “”处 D. “”处 【答案】C 【解析】试题分析：首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络 进行分解然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后 按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，分析法是直接证明的一种方法，从而可 得结论 解：分析法是直接证明的一种方法 故“分析法” ，则应该放在“直接证明”的下位 故选 C 点评：本题主要考查了结构图，解题关键是弄清分析法属于直接证明，属于基础题 7. 通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 经计算的观测值. 参照附表，得到的正确结论是 附表： A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】由列联表中的数据可得， 故有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 选 A 8. 下列参数方程中与方程表示同一曲线的是 A. ( 为参数) B. ( 为参数) C. ( 为参数) D. ( 为参数) 【答案】D 【解析】选项 A 中，消去方程 ( 为参数)中的参数可得，不合题意 选项 B 中，消去方程 ( 为参数)中的参数可得，但，故与方 程不表示同一曲线，不合题意 选项 C 中，消去方程 ( 为参数)中的参数可得，但，故与方程不表示 同一曲线，不合题意 选项 D 中，由于，故消去参数后得，且， 故与方程表示同一曲线，符合题意 综上选 D 9. 给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集） “若，则” 类比推出“若, 则” ； “若，则” 类比推出“若，则” ； “若，则复数” 类比推出“若，则” ； “若，则” 类比推出“若是非零向量，则”. 其中类比结论正确的个数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于，由复数知识可得类比正确 对于，由于当两个复数不都为实数时，不能比较大小，故类比不正确，即不正确 对于，由可得，从而可得，所以类比正确，即 正确 对于，由于表示与向量共线的向量，而表示与 共线的向量，所以 不一定正确，即类比不成立 综上可得正确选 B 10. 已知，若复数 满足，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ， ， ，解得 ， 复数 表示的点在以为圆心，半径为的圆上， 的最大值为选 C 点睛： （1）在复数中，只要把与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理 解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题 （2）解题中注意的几何意义是点 z 对应的点在以 为圆心，半径为的圆上，故的最大值，即复数 z 对应的点到原点的距离是圆心 到原点的距离加上半径 11. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设，且，求证： ” “索”的“因”应是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：因 ,即 ,故应选 C 考点：分析法及推证格式 12. 已知函数, ，若对,，使 成立，则实数的 取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得“对,，使成立”等价于“ ” ，当且仅当时等号成立 在中，由，解得 令， 则 ， （其中） 由，解得， 又，故， 实数的 取值范围是选 A 点睛： （1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方 便形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最 小值 （2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函 数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解 二二 填空题：（本大题共填空题：（本大题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分将答案填在题中横线上分将答案填在题中横线上 ） 13. 已知 为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则 _. 【答案】 【解析】由题意得复数对应的点为（2，-3） ，它关于原点的对称点为（-2,3） ， 故 ，所以 答案： 14. 若，则在， ， ，这五个不等式中， 恒成立的不等式的序号是_. 【答案】 【解析】对于，由于同向不等式不能相减， （或举反例） ，故不正确 对于，根据同向不等式可以相加，故正确 对于，由于不等式不一定都为正不等式，不能两边相乘，故不正确 对于，由得，根据同向不等式的可加性知成立，即正确 对于，由于的符号不确定，故不等式不一定成立，即不正确 综上可得 正确 答案： 15. 定义某种运算，运算原理如流程图所示，则式子的 值为_. 【答案】12 【解析】由题意得， ， 答案： 16. 已知曲线的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.若点的极坐标分别为和 ，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点 ，射线与曲线 相交于点 ，则的值为_ 【答案】 【解析】消去参数可得曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程是， 即为，故其直角坐标方程为 由题意得为圆直径的两个端点，故由. 设射线的极坐标方程为，则射线的极坐标方程为或， 又曲线的极坐标方程为，即， ， 答案： 点睛： （1）曲线的极坐标方程的常见命题角度： 求曲线的极坐标方程；在极坐标下求点到直线的距离；在极坐标下求线段的长度 （2）求解与极坐标有关的问题的主要方法 直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； 转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐 标 三、解答题：（本题包括三、解答题：（本题包括 6 6 个小题，共个小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 为了解心脑血管疾病是否与年龄有关，现随机抽取了 50 人进行调查，得到下列的列联 表： 患心脑血管不患心脑血管合 计 大于 45 岁 22830 小于 45 岁 81220 合 计 302050 试问能否在犯错的概率不超过 5%的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关？ 附表： 0.150.100.050.0250.010 2.0722.7063.8415.0246.635 参考公式：，其中 【答案】见解析 【解析】试题分析： 根据列联表中的数据求得的值，然后判断此值是否大于 3.841 即可得到结论 试题解析： 由列联表可得 在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关 18. 随着经济的发展，某城市市民的收入逐年增长，该城市某银行连续五年的储蓄存款（年 底余额）如下表： 年份 20132014201520162017 储蓄存款 （千亿元） 678911 （I）求出 关于 的线性回归方程； （II）用所求的线性方程预测到 2020 年底，该银行的储蓄存款额为多少？ 参考公式： 其中 【答案】 （I）；（II）14.2 千亿元. 【解析】试题分析： （I）由于条件中的数据较大，故可采用引入新变量的方法，将数据减小故令 ，结合所给数据求得，和，然后根据参考公式求得回归方程， 最后在代换为原变量即可得到 关于 的线性回归方程 （II）在（I）中的回 归方程中，令，可得，即为所求的估计值 试题解析： （I）令得到下表 时间代号 12345 01235 由题意知：， ， ， ， ， z 关于 t 的回归方程为 ， 整理得， 关于 的线性回归方程为 （II）当时， 到 2020 年年底，该银行的储蓄存款额可达 14.2 千亿元 点睛：求线性回归直线方程的步骤 (1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系； (2)求系数 ：公式有两种形式，根据题目具体情况灵活选用； (3)求 ：； (4)写出回归直线方程 说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式 的哪种形式求 19. 在平面直角坐