黑龙江省大庆铁人中学黑龙江省大庆铁人中学 2017-20182017-2018 学年高二数学下学期第一次月考试题学年高二数学下学期第一次月考试题试题说明：本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1.若函数)(xfy 的导函数)(, 56)(2xfxxf则可以是 ( )A ( )f x xx532 B. ( )f x 6523 xx C. ( )f x 523x D. ( )f x 6562 xx2由 ，若0ab且0m ，则bm am 与b a之间大小关系为 ( )7 105 89 118 1013 259 21A相等 B.前者大 C后者大 D不确定3.若=7Paa，=+34Qaa (0a )，则P与Q的大小关系是 ( )A PQ B. PQ C. =P Q D.由a的取值确定4.（理）22+cosdx （1 1x x）等于 ( )A B.2 C.2 D.24.（文）函数5123223xxxy在0，3上最大，最小值分别为 ( )A 5，-16 B. 5，4 C. -4，-15 D. 5，-155.设, ,(0,)x y z，111,axbyczyzx，则, ,a b c三数 ( )A至少有一个不小于 2 B.都小于 2C.至少有一个不大于 2 D.都大于 26. （理）设22,0,1 ,( )( )02,1,2,xxf xf x dxxx ）则则等等于于 ( )A B. C. D.不存在3 44 55 66. （文）已知函数32( )39f xxaxx在3x 时取得极值，则实数a的值是 ( )A3B.4C5D67曲线 1 (21)ynx上的点到直线 230xy的最短距离是 ( )A5 B.2 5 C3 5 D08已知32( )1f xxaxax（+6）有极大值和极小值，则a的取值范围是 ( )A12a B.36a C3a 或6a D1a 或2a 9过曲线32yxx上的点0P的切线平行于直线41yx，则切点0P的坐标为 ( )A （0，-1）或（1，0） B.（1，0）或（-1，-4） C （-1，-4）或（0，-2） D （1，0）或（2，8）10设( ),( ( )f xg x是定义域为 R 的恒大于零的可导函数，且满足( )( )( )( )0,fx g xf x g xAA则当axb时有 ( )A( )( )( )( )f x g xf b g bAA B.( )( )( )( )f x g af a g xAAC( )( )( )( )f x g bf b g xAA D. ( )( )( )( )f x g xf a g aAA11设32( ),f xxbxcxd又 k 是一个常数.已知当0k 或4k 时, ( )0f xk只有一个实根;当04k时, ( )0f xk有三个相异实根,现给出下列命题:(1) ( )40f x 和( )0fx 有一个相同的实根;(2) ( )0f x 和( )0fx 有一个相同的实根;(3) ( )30f x 的任一实根大于( ) 10f x 的任一实根;(4) ( )50f x 的任一实根小于( )20f x 的任一实根.其中,错误命题的个数是 ( ) A4 B.3 C.2 D.112关于函数2( )(2),xf xxxe给出下列四个判断：( )0f x 的解集是02xx (2)f 是极小值，( 2)f是极大值( )f x没有最小值，也没有最大值 ( )f x有最大值，没有最小值则其中判断正确的是： ( ) A B. C. D. .二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13.奇函数32yaxbxcx在1x 处有极值,则3abc的值为 .14.与直线2610xy 垂直，且与曲线3231yxx相切的直线方程是_15.已知：sin230sin290sin2150 ， sin25sin265sin2125 .3 23 2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的结论 .16.设函数 331()f xkxxxR，若对于任意1,1x ，都有 0f x 恒成立，则 k 的值为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. （本小题 10 分）已知曲线32yxx上一点( 1,1)M ，求：（1）点M处的切线方程；（2）点M处的切线与x轴、y轴所围成的平面图形的面积.18 （本小题 12 分）已知函数2( )1f xnxxax（1）当a3 时，求函数( )yf x的极值点；（2）当a4 时，求方程2( )0f xx在(1，)上的根的个数19.（本小题 12 分）已知0,0,0abcabbccaabc（1）利用反证法证明：0,0,0abc（2）证明：1119abcabc20 （理） （本小题 12 分）设数列 na的前n项和为nS，且方程20nxaxa有一根为1nS ，n1,2,3，.（1）求1a，2a；（2）猜想数列 nS的通项公式，并证明20 （文） （本小题 12 分）设0a ，已知函数2( )1 12 1(0)f xxn xa nx x .（1）令()F xxfx，讨论( )F x在（0.）内的单调性并求极值；（2）求证：当1x 时，恒有212 11xn xa nx.21 （本小题 12 分）已知函数( )=1xf xex， （e是自然对数的底数）（1）求证：( )0f x （2）若不等式( )1f xax在1,22x上恒成立，求正数a的取值范围22. （本小题 12 分）已知函数2( )1(21)f xnxaxax（1）讨论( )f x的单调性（2）当0a 时，证明3( )24f xa 参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）BBBDACACBBDD 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 130 143 +20x y 15. 2223sinsin (60 )sin (120 )216.4三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17解：（）223yx2 1|23( 1)1xKy 切11(1)20yxxy 切线方程为：即（）对 x+y+2=0;令 x=0,y=-2 令 y=0,x=-2 12 222ABCS 18 (1)f(x)lnxx23x，f (x) 2x3，1 x令f (x)0，则x1 或x ，1 2由f (x)0 得 01，1 2f(x)在(0， )和(1，)上单调递增，在( ，1)上单调递减，1 21 2f(x)的极大值点x ，极小值点x1.1 2(2)当a4 时，f(x)x20，即 lnx2x24x0，设g(x)lnx2x24x，则g(x) 4x40，1 x4x24x1 x则g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)20，所以g(x)在(1，)上有唯一实数根19.20 （理）解：(1)当n1 时，x2a1xa10 有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1 .1 2当n2 时，x2a2xa20 有一根为S21a2 ，1 2于是(a2 )2a2(a2 )a20，1 21 2解得a2 .1 6(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，S2Sn1anSn0.2n当n2 时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1 ，S2a1a2 .1 21 21 62 3由可得S3 .由此猜想Sn，n1,2,3，.3 4n n1下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1 时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1 时，由得Sk1，即Sk1k k11 2Sk，故nk1 时结论也成立k1 k2综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立n n120 （文）（）解：根据求导法则有2ln2( )10xafxxxx ，故( )( )2ln20F xxfxxxax，于是22( )10xF xxxx ，列表如下：x(0 2)，2(2)，( )F x0( )F xA极小值(2)FA故知( )F x在(0 2)，内是减函数，在(2)，内是增函数，所以，在2x 处取得极小值(2)22ln22Fa（）证明：由0a知，( )F x的极小值(2)22ln220Fa于是由上表知，对一切(0)x，恒有( )( )0F xxfx从而当0x 时，恒有( )0fx，故( )f x在(0)，内单调增加所以当1x 时，( )(1)0f xf，即21 ln2 ln0xxax 故当1x 时，恒有2ln2 ln1xxax21 22.