1 政和一中 2015-2016 学年下学期高二第一次月考数学（理）试题（本科考试时间为120 分钟，满分为150 分）一选择题（本大题有12 小题，每小题5 分, 共 60 分）1复数ii)21(的虚部是（）（A）1 （B）-1 （C） i （D）-i 2. 用 反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（）(A) 假设三内角都不大于60 度 (B)假设三内角都大于60 度(C) 假设三内角至多有一个大于60 度 (D)假设三内角至多有两个大于60 度3. 一点沿直线运动，如果由起点起经过t秒后的距离32112132sttt，那么速度为零的时刻是（）(A)1秒末 (B) 2秒末 (C) 3秒末 (D) 4秒末4设f(x)在x0x处可导，且 lim x01)()3(00 xxfxxf，则)(0/xf等于 ( ) (A) 1 (B) 0 (C) 3 (D) 1 35点 P在曲线 y3xx23上移动，设点P处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是( ) （A） 0 ，2 (B) 0， 2 3 4，) (C) 3 4， ) (D) 2，3 4 6设 f(x) 2, 1,2 1 ,0, 2xxxx，则20)(dxxf等于 ( ) (A) 3 4 (B) 4 5 (C) 5 6(D) 不存在7. 六件不同的奖品送给5个人 , 每人至少一件 , 不同的分法种数是 ( ) (A)4 5C (B) 65 (C)1 55 6AA (D) 5 52 6AC8. 已知函数sincosfxxx，且 003fxfx，则0tan2x的值是（）(A) 43(B) 43(C) 34(D)349若 a2，则方程1 3x3ax210 在(0,2) 上恰好有 ( ) 2 （A）0 个根 (B)1个根 (C)2个根 (D)3个根10. 设函数)(/xf是奇函数f(x)(xR） 的导函数， f(-1)=0,当 x0 时，0)()(/xfxxf， 则使得 f(x)0成立的 x 的取值范围是 ( ) (A) )1 , 0() 1,( (B) ), 1()0 , 1(C) )0, 1() 1,( (D) ), 1()1 ,0(11已知函数f(x) 1 24x23x3m ，xR，若 f(x) 90 恒成立，则实数m的取值范围是( ) (A) m 3 2 (B) m32 (C) m3 2(D) m 3 212. 已知),0(x，有下列各式：,21xx,3422422xxxxx,4273332733xxxxxx，成立，观察上面各式，按此规律若,54xax则正数 a=（）(A) 4 (B) 5 (C) 44(D) 55二填空题（本大题有4 小题，每小题5分，共 20 分）13. 设 i 是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于第象限14. 设曲线xye在点（ 0,1 ）处的切线与曲线1(0)yxx上点 p 处的切线垂直，则p的坐标为15. 6 把椅子摆成一排,3 人随机就座 , 任何两人不相邻的坐法种数为16 下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2, 1)，(2,4,2)，(3,8,5)，(4,16, 12)，(5,32,27)， ,(,)nnnab c，若数列nc的前n项和为nS，则10S三 解答题（本大题共6 小题，共70 分）17. （本小题满分10 分）(1)设复数z满足(1)2i z，其中i为虚数单位，求复数z. (2) 实数m取何值时，复数zm21+(m23m 2)i,（）是实数； （）是纯虚数. 3 18( 本小题满分12 分）求由曲线xy1 及直线 x y，y 3 所围成平面图形的面积19. ( 本小题满分12 分）已知a，b是正实数，求证：ba abba4 20.( 本小题满分12 分) 21 （本小题满分12 分）已知函数f(x) x1 ex1(xR) (1) 求函数f(x) 的单调区间和极值；(2) 已知函数yg(x) 对任意x满足g(x) f(4 x) ，证明当x2 时，f(x) g(x). 22. （本小题满分12 分）已知函数lnfxx xax, 其中a为常数 . （）当1a时, 求fx的极值；（）若fx是区间1,12内的单调函数,求实数a的取值范围；（）过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切？请说明理由. 政和一中20152016 学年下学期高二第一次月考数学（理）答案一 选择题5 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A B B D B C D A B A A C 二 填空题 13. 二 14. 1,115.24 16. 1991 三解答题：17. （10 分） (1) 设i izbiaz112，,4 分(2)210232mmmm或解得,7 分1- 0230122 m mmm解得 ,10 分18、 （ 12 分）解：作出曲线xy1，直线xy，y3 的 草图，所求面积为图中阴影部分的面积由xy1y3得x13y3，故A(13，3)；由xy1yx得x1y1或x 1y 1( 舍去 ) ，故 B(1,1) ；由yxy3得x3y3，故 C(3,3) 19（12 分） 、证明：要证ba abba，只需证)(baabbbaa即证)()(baabbaabba即证ababba即证abba2，即0)(2ba该式显然成立，所以ba abba20解：（1）令2n，116a，222 (21)2sa，即1223aaa，2112a6 令3n，得333 (31)2Sa，即12336aaaa，3120a令4n，得444(41)2Sa，即1234410aaaaa，4130a（2）猜想1(1)(2)nann，下面用数学归纳法给出证明当1n时，1116(1 1)(12)a，结论成立假设当nk时，结论成立，即1(1)(2)kakk，则当1nk时，(1)(1)122(1)(2)2(2)kkk kk kkSakkk，11(1)(2)2kkkkSa，即11(1)(2)2kkkkkSaa11(1)(2)2(2)2kkkkkaak，112(2) (1)(2)(3)(2)(2)(3)12kk kkakkk kkkk当1nk时结论成立由可知，对一切nN都有1(1)(2)nann21. （ 12 分）解析 (1) 由f(x) x1ex1得f(x) 2x ex1. 令f(x) 0，解得x2，则x，f(x) ，f(x) 的变化情况如下表：x ( ， 2)2(2，)f(x)0f(x)增极大值1e减所以f(x)在 ( ， 2) 内是增函数，在(2， ) 内是减函数函数f(x)在x2 时取得极大值f(2) 1e. (2) 证明因为g(x) f(4 x) ，所以g(x) 3xe3x. 令F(x) f(x) g(x) ，即F(x) x1ex13xe3x则F(x)2x ex 12x e3x2xe3e2x 1ex2. 7 当x2 时， 2x0,2x1 3，从而 e3e2x 10，则函数F(x) 0，F(x) 在(2 ， ) 是增函数所以F(x)F(2) 1e1e 0，故当x 2 时，f(x) g(x) 成立22. (12分) （） 当1a时, 2 211121210xxxxfxxxxxx, 所以fx在区间0,1内单调递减 , 在1,内单调递增 . 于是fx有极小值10f, 无极大值 . （） 易知12fxxax在区间1,12内单调递增，所以由题意可得120fxxax在1,12内无解 , 即102f或10f, 解得实数a的取值范围是, 11,. （） 设切点2,lnt tatt, 则切线方程为212lnytaxttattt. 因为过原点 , 所以2102lntattattt, 化简得21ln0tt（） . 设2( )1ln0h ttt t, 则120httt, 所以h t在区间0,内单调递增 . 又10h, 故方程 ( ) 有唯一实根1t, 从而满 足条件的切线只有一条.