20182018 届高三第三次模拟考试届高三第三次模拟考试数学（文科）试题数学（文科）试题第第卷卷 选择题（共选择题（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. .1. 已知集合，若，则 的值为（ ）A. 1 B. -1 C. D. 2【答案】A【解析】由，且，得，又由，则必有，且，所以.故选 A.2. 命题 ：，的否定是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】由题意可知，命题 为全称命题，其否定须由全称命题来完成，并否定其结果，所以命题 的否定是，.故选 C.3. 设 为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）A. -5 B. C. -1 D. 【答案】B【解析】由题意得，因为其实部与虚部互为相反数，所以，即，解得.故选 B.4. 已知变量 ， 之间的线性回归方程为，且变量 ， 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）681012632A. 变量 ， 之间呈现负相关关系B. 可以预测，当时，C. D. 由表格数据知，该回归直线必过点【答案】C【解析】由题意得，由，得变量 ， 之间呈负相关，故 A 正确；当时，则，故 B 正确；由数据表格可知，则，解得，故 C 错；由数据表易知，数据中心为，故 D 正确.故选 C.5. 在等差数列中，则（ ）A. 8 B. 12 C. 16 D. 20【答案】A【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，则，所以.故选 A.6. 在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，当，函数为单调递减函数，若时，函数与的零点，且函数在上为单调递减函数；若时，函数与的零点，且函数在上为单调递增函数.综上得，正确答案为 A.7. 数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满 7 个即在左边的绳子上打一个结，请根据图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A. 336 B. 510 C. 1326 D. 3603【答案】B【解析】由题意知，图 2 中的“结绳计数”法是七进制计数法，所以图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为.故选 B.8. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A. B. C. 4 D. 5【答案】D【解析】由题意，执行程序，由正确，则，；由正确，则，；由正确，则，；由正确，则，；由此可以发现 的值为，其值规律为以 3 为周期，由，所以，当错误，则输出 的值为 5，故选 D.9. 若函数（且）在上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选 D.点睛：此题主要考查导数在研究函数以及复合函数单调性、最值中的应用，以及对数函数、二次函数的单调性、最值的计算等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考题型.在研究复合函数的单调性中有“同增异减”之法，即两种复合函数中，若两种函数同为增函数或同为减函数，则复合函数为增函数，若两种函数一增一减或一减一增，则复合函数为减函数.10. 已知变量 ， 满足，若方程有解，则实数 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，可作出约束条件的区域图，如图所示，由方程，得，由此问题可转化为求区域图内的点到定点的距离最小时实数 的值，结合图形，点 到直线的距离为所求，则有，解得.故选 B.点睛：此题主要考查简单线性规划问题，以及点到直线距离公式的应用、数形结合法的应用等方面知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题型.解决此类问题中主要有两个关键环节，一是根据约束条件作出可行域图；二是善于将目标函数进行转化，一般可从斜率、两点间的距离、点到直线的距离等方向去考虑，寻找问题的突破口.11. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若，则实数 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，则，从而，又，所以当时实数 有最小值，.故选 B.12. 已知关于 的不等式在上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由原不等式等价于，若时，不等式成立，若时，可令，则，又，且为单调递增函数，构造函数，则在的最值为，当时，易知在上递减，此时为减函数，不等式成立，当时，且，即，满足不等式，综合得 的范围为.第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 9090 分）分）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上）13. 已知向量，满足，则 ， 夹角的余弦值为_【答案】【解析】由 ，得，解得，则，所以.14. 双曲线 ：的离心率为 2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为_【答案】【解析】由题意知，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.15. 已知球面上有四个点 ， ， ， ，球心为点 ， 在上，若三棱锥的体积的最大值为 ，则该球 的表面积为_【答案】【解析】由题意知，为该球的直径，由此易知，当顶点 在底面的射影为球心 时，且底面为等腰直角三角形时，三棱锥体积最大，所以，解得，故所求球 的表面积为.点睛：此题主要考查了简单组合体的体积、表面积的计算，以及空间想象能力等有关方面的知识与能力，属于中高档题型，也是常考题型.此题中需要对三棱锥的体积在约定的条件下，什么情况出现最大值作出判断，那当然是底面积最大且高最长时出现最大值，而由条件已知底面三角形中一边为球的直径，因此当该三角形的高为半径时面积最大，又当三棱锥的高亦为半径时，所求三棱锥的体积最大，从而问题可得解.16. 在中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知，则的最大值为_【答案】6【解析】试题分析：在中，整理可得：，可得：，由余弦定理可得：，解得：，当且仅当时，故答案为：考点：余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理即已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而利用余弦定理，基本不等式即可得解三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知正项等比数列的前 项和为，且，.（）求数列的通项公式；（）若，数列的前 项和为，求满足的正整数 的最小值.【答案】 （1）（2）5【解析】试题分析：（）由题意可设数列的公比为，根据等比数列的通项公式与前 项和公式，建立关于 与 的方程组，从而求出数列的通项公式；（）由（）求得，从而可得，根据其特点，采用裂项求和方法求出，由不等式求出正整数的最小值.试题解析：（）由题意知，得，设等比数列的公比为 ，又，化简得，解得.（）由（）知， . ， .令，得，解得，满足的正整数 的最小值是 5.点睛：此题主要考查数列的通项公式、前 项和公式的求解，解决数列问题中不等式的问题，以及裂项相消求和法的应用等方面的知识与运算技能，属于中高档题型，也是常考题.这里需要提一下的是裂项相消求和法，若数列的通项公式能分裂为两项相减时（如本题中） ，比较适合.18. 新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤 20 元，售价为每公斤 24 元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤 16 元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于 25 摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温低于 15 摄氏度，需求量为公斤.为了确定 6 月 1 日到 30 日的订购数量，统计了前三年 6 月 1 日到 30 日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：平均气温天数216362574（）假设该商场在这 90 天内每天进货 100 公斤，求这 90 天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数） ；（）若该商场每天进货量为 200 公斤，以这 90 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.【答案】 （1）391（2）【解析】试题分析：（）由题意，根据频数分析布表，这 90 天中平均气温在 15 摄氏度以上时，共有 98 天，且每天进货为公斤，销量亦为 100 公斤，此时每天利润为元，而平均气温低于 15 摄氏度的有 2 天，但进货仍为 100 公斤，而销量为 50 公斤，此时每天利润为，从而可求出这 90 天的平均利润；（）若这 90天每天进货 200 公斤时，由频数分布表知，当平均气温在 25 摄氏度以上有 36 天，且销量为300 公斤，此时盈利，当平均气温在 15 至 25 摄氏度之间时有 52 天，且销量为 100 公斤，此时利润为 0，不亏，当平均气温在 15 摄氏度以下时有 2 天，且销量为 50 公斤，此时利润 为元，亏损，从而可得当天商场不亏损的概率为.试题解析：（）当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；当需求量，即时，荔枝为该商场带来的利润为元.这 90 天荔枝每天为该商场带来的平均利润为元.（）当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为 100、200 或 300 公斤，则所求概率.19. 如图，是边长为 3 的等边三角形，四边形为正方形，平面平面.点 、 分别为、上的点，且，点 为上的一点，且.（）当时，求证：平面；（）当时，求三棱锥的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（）由题意，可连接，则易证，且，从而平面平面，又平面，从而问题可得证；（）由题意，可将三棱锥R 的体积转化为三棱锥的体积进行求解，取点 ，连接，过点 作于 ，并计算的长，即为三棱锥的高，根据题意可计算其底面积，再由三棱锥计算公式，从而问题可得解.试题解析：（）连接，当时，四边形是平行四边形，平面平面，又平面，平面.（）取的中点