第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论4.1地球椭球基本参数及其互相关系4.2 椭球面上常用坐标系及其关系4.3 椭球面上的几种曲率半径4.4 椭球面上的弧长计算4.5 大地线4.6 将地面观测值归算至椭球面4.7 大地测量主题解算概述4.8 地图数学投影变换的基本概念4.9 高斯平面直角坐标系4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.11 兰勃脱投影概述,1、球面三角形 (spherical triangle),2、球面角超 (spherical excess),定义,球面三角学的基本知识Basic of Spherical Trigonometry,计算公式,3、球面三角形公式（单位球）,正弦公式（四元素）,单位球,边的余弦公式（四元素）,角的余弦公式（四元素）,正余弦公式（五元素）,3、球面三角形公式（单位球）,余切公式（四元素）,正切公式（四元素）,3、球面三角形公式（单位球）,球面直角三角形公式的纳白尔规则（单位球）,4.1地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):长半轴短半轴椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率通常用a ,为简化书写，还常引入以下符号,4.2 椭球面上常用坐标系及其关系 4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系 大地经度B 大地纬度L 大地高H,2、空间直角坐标系 定义： 1、坐标原点位于总地 球椭球(或参考椭球)质心； 2、Z轴与地球平均自转轴相重合， 亦即指向某一时刻的平均北极点； 3、X轴指向平均自转轴与平均格 林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G； 4、Y轴与此平面垂直，且指向东为正。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。,3、子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。,(X,Y,Z),(L,x,y),4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长与辅助圆相交点，则OP与x轴夹角称为P点的归化纬度u。,(L,),(L,u),5、大地极坐标系M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M为极点；MN为极轴；P点极坐标为（S, A),4.2.2 坐标系之间的相互关系 子午平面坐标系同大地坐标系的关系,令: pn=N,空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系,空间直角坐标系同大地坐标系 在椭球面上的点：不在椭球面上的点：,由空间直角坐标计算相应大地坐标或,B、u、 之间的关系 B和u之间的关系,U、之间的关系、之间的关系 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45时,大地测量数据处理过程,地面观测元素,天文方位角,距离,方向,归算,椭球面上的元素,大地方位角,距离,方向,高斯平面元素,归算,距离,方向,坐标方位角,大地坐标（L，B）,平面坐标（x，y）,平差,平差,4.3 椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。子午圈曲率半径,卯酉圈曲率半径(N)卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。,卯酉圈曲率半径的特点:卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。,主曲率半径的计算以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。,任意法截弧的曲率半径,任意法截弧的曲率半径的变化规律:不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当时，变为计算子午圈曲率半径的，即；当90时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径M及N分别是的极小值和极大值。当A由090时，之值由，当A由 90180时，值由N，可见值的变化是以 90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。,M，N，R的关系,对于克拉索夫斯基椭球,4.4 椭球面上的弧长计算 子午线弧长计算公式,如果以B90代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为10 000km，地球周长约为40 000km。为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的X及X，而后取差：，该即为所求的弧长。当弧长甚短(例如X40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M,由子午弧长求大地纬度迭代解法: 平行圈弧长公式,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,四、梯形图幅面积,2、梯形图幅面积,图幅ABCD的椭球面积,4.5 大地线两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢? 它应是大地线。 相对法截线,相对法截线,相对法截线的特点: 当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。 在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,大地线的定义和性质 椭球面上两点间的最短 程曲线叫做大地线。,大地线的性质: 大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角 在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。 长度差异可忽略,方向差异需改化。,补充内容：球面直角三角形的球面三角公式 任一元素的余弦等于不相邻两元素的正弦之积,任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积,大地线的微分方程和克莱劳方程,大地线的克莱劳方程在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数 ,当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程可以写出,4.6 将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求：以椭球面的法线为基准；将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 将地面观测的水平方向归算至椭球面将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正。,垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以,表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1),标高差改正,截面差改正,将地面观测的长度归算至椭球面基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。1.垂线偏差对长度归算的影响,2.高程对长度归算的影响,电磁波测距的归算,作业： 1为什么要引入正常地球，讨论正常位与正常重力？目前一般实用的正常地球是什么形状？ 2什么是水准测量的理论闭合差？水准测量的观测高差一般要加入那些改正？ 3正常重力公式是用来计算什么地方的正常重力? 4. 为什么水准测量会产生多值性？,4.7 大地主题解算概述,大地元素：大地经度L，大地纬度B，大地线长度S，正反大地方位角A12、A21 大地主题解算：已知某些大地元素推求另一些大地元素。 大地方位角：大地方位角是大地坐标系中表示方向的角量，是参考椭球面上过某点的子午圈与过该点某一方向的大地线间的夹角，大地方位角由子午圈北方向起按顺时针方向计算,通常用A表示。它不能直接测得,而是由天文方位角按拉普拉斯方程换算而得。,4.7 大地测量主题解算概述 4.7.1 大地主题解算的一般说明 主题解算分为:短距离(400km)中距离(1000km)长距离(1000km以上),1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。 主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：高斯平均引数法,2.以白塞尔大地投影为基础 1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面向球面的过渡； 2)在球面上解算大地问题； 3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。 典型解法：白塞尔大地主题解算 特点：计算公式可展为 的幂级数，解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应20 000km或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。,可在已知点P1（S=0)，按照麦克劳林级数将P1和P2点的纬度差、经度差和方位角之差展开为大地线长度S的幂级数。,4.7.2 勒让德级数式 为了计算 的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。,一阶导数：,二阶导数：,三阶导数,4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式推导的基本思想：首先把勒让德级数在 P点展开改在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点 M 的复杂性，将 M 点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。,(1)建立级数展开式:,同理可得:,(2),(3)由大地线微分方程依次求偏导数:,同理可得：,注意：从公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到0.001”。,4.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:,已知：求得：,计算范例,4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想:以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。这种方法的关键问题 1、找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式 2、解决在球面上进行大地主题解算的方法。,在球面上进行大地主题解算球面上大地主题正算:已知求解球面上大地主题反算:已知求解,球面三角元素间的 相互关系,球面上大地主题正解,球面上大地主题反解方法,2 椭球面和球面上坐标关系式,在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:,白塞尔提出如下三个投影条件： 1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧 2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。,白塞尔提出的第三个投影条件： 3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。,