小波变换及其在 图像处理中的典型应用,赵丹培 宇航学院图像处理中心 2010年5月,目 录,8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用,Fourier变换一直是信号处理领域中应用最广泛、效果最好的一种分析手段，是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把对原函数的研究转化为对其傅里叶变换的研究。但是傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提供信号在某个局部时间段上的频率信息。,8.1 从傅里叶变换到小波变换的 时频分析法,8.1.1 傅里叶变换,8.1.1 傅里叶变换,傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。,傅里叶变换,反傅里叶变换,8.1.1 傅里叶变换,x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t);%在信号中加入白噪声,时间,由于傅立叶变换无法作局部分析，为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗口傅里叶变换。短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小的等时间间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分析，它在一定程度上包含了时间频率信息，但由于时间间隔不能调整，因而难以检测持续时间很短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。,8.1.2 短时傅里叶变换,8.1.2 短时傅里叶变换,基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：,8.1.2 短时傅里叶变换,8.1.2 短时傅里叶变换,短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点,小波起源： 1984年Morlet提出;1985年Meyer构造出小波;1988年，Daubechies证明了离散小波的存在;1989年，Mallat提出多分辨分析和二进小波变换的快速算法;1989年Coifman、 Meyer引入小波包;1990年崔锦泰等构造出样条单正交小波基;1994年Sweldens提出二代小波提升格式小波(Lifting Scheme)。 小波定义： “小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具有正负交替的波动性，直流分量为0。 小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。,8.1.3 小波变换,持续宽度相同,振荡波,波与小波的差异：,用镜头观察目标 (待分析信号)。代表镜头所起的作用(如滤波或卷积)。相当于使镜头相对于目标平行移动。的作用相当于镜头向目标推进或远离。,小波变换的粗略解释,8.1.4 小波变换的时频分析,尺度a较大,距离远 视野宽,概貌观察,尺度a较小,距离近 视野窄,细节观察,分析 频率低,分析 频率高,由粗到精,多分辨分析,品质因数保持不变,小波变换的时频分析特点：,小波变换的分析特点 (a) 尺度a不同时时域的变化 (b)尺度a不同时频域的变化,小波变换的多分辨分析特性：,不同a值下小波分析区间的变化,不同a值下分析小波频率范围的变化,频窗,时窗,小波变换的时频局部特性：,8.1.5 连续小波变换,尺度因子 的作用是将基本小波 做伸缩， 越大 越宽。,小波的位移与伸缩,设 ，当 满足允许条件时：,8.1.5 连续小波变换,称 为一个“基小波”或“母小波”。 小波变换的含义是： 把基本小波(母小波)的函数 作位移后，再在不同尺度下与待 分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。,连续情况时，小波序列为： (基本小波的位移与尺度伸缩)其中 为尺度参量， 为平移参量。 离散的情况，小波序列为 ：,根据容许条件要求，当=0时，为使被积函数是有效值，必须有 ，所以可得到上式的等价条件为：此式表明 中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故称为“波”，为了使 具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：,衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称 为小波。 对于任意的函数 的连续小波变换定义为：逆变换为： 是尺度因子， 反映位移。,线性 设： 平移不变性 若 ，则 伸缩共变性如果 的CWT是 则 的CWT是 冗余性(自相似性) 由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的,8.1.6 连续小波的性质,目 录,8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用,8.2 小波变换分类,小波函数中 三个变量均为连续变量，称为连续小波。可以对 三个变量施加不同的离散化条件，并相应地对小波及小波变换进行分类。其中，最重要的两种分类：离散小波及离散小波变换二进小波及二进小波变换,8.2.1 离散小波变换,如果设定 ，则 对于任意函数 ，定义相应的离散小波变换为：如果这时 构成空间 的一组规范正交基，对于任一函数 的反演式为一展开式：,8.2.2 二进小波及二进小波变换,在连续小波变换中，令参数 而参数 仍取连续值，则有二进小波：这时， 的二进小波变换定义为,目 录,8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用,多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。由理想滤波器引入多分辨率分析的概念：,8.3 小波变换的多分辨分析特性,多分辨分析定义：,空间 中的一系列闭子空间 ，称为 的多分辨率分析或逼近，若下列条件满足： 单调性： ，对任意 逼近性： 伸缩性： 平移不变性： Riesz基：存在 ，使 构成 的Riesz基，即是线性无关的，且存在常数 与 ，满足 使得对任意的 ，总存在序列 使得 且 ，称 为尺度函数，并称 生成 的一个多分辨分析 。,是一个无限维向量空间，称为平方可积空间，将 用它的子空间 ， 表示，其中 称为尺度空间， 称为小波空间。尺度空间的递归嵌套关系：小波空间 是 和 之间的差，即 ，它捕捉由 逼近 时丢失的信息。推出：,多分辨率的空间关系图,目 录,8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用,两尺度方程,若 是尺度函数，它生成 的多分辨分析 ，则必然存在系数序列 ，使得以下尺度关系成立:这就是两尺度方程，必须满足下列条件：定义函数 为尺度函数，若其经过整数平移 和 尺度 上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集 合：,和 的基本性质是两尺度差分方程：两尺度方程的频域表示为：,目 录,8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用,8.5.1 Mallat算法与塔式分解,系数分解的快速算法：,Mallat小波快速分解算法的流程图,系数重构的快速算法：,Mallat小波快速重构算法的流程图,目 录,8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用,8.6.1 二维小波变换的实现,假定二维尺度函数可分离，则有 其中 、 是两个一维尺度函数。若 是相应的小波，那么下列三个二维基本小波：与 一起就建立了二维小波变换的基础。,8.6.2 图像小波变换的正变换,正变换图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为4个四分之一大小的图像。,8.6.3 图像小波变换的逆变换,逆变换 在每一层(如最后一层)都通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的4个阵列(即4个分解图像)； 接着用重构低通滤波器h和重构高通滤波器g来卷积各行，再成对地把这几个的阵列加起来； 然后通过在每行上面再插入一行零来将刚才所得两个阵列(图像)的大小增频采样为NN； 再用h和g与这两个阵列的每列进行卷积。这两个阵列的和就是这一层次重建的结果。,对于二维图像信号，在每一层分解中，由原始图像信号与一个小波基函数的内积后再经过在x和y方向的二倍间隔抽样而生成四个分解图像信号。对于第一个层次(j=1)可写成：,8.6.4 二维小波变换的Mallat算法,将上式内积改写成卷积形式，则得到离散小波变换的Mallat算法的通用公式：,二维小波变换Mallat算法的通用公式：,8.6.5 二维Mallat多分辨率分解与重构,图像的Mallat快速塔式分解实验,8.6.6 多孔算法,多孔算法的分解实验,目 录,8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用,边缘像素实质上是局部图像范围内灰度的急剧变化点(奇异点)，图像边缘就是二维图像中奇异点的集合。边缘点在频域表现为高频信号，而图像噪声也多为高频信号，这使得两者难以区分。边缘检测的目的就是既要将高频信号从图像中分离出来，又要区分边缘与噪声，准确地标定边缘的位置。,8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用,传统的边缘检测方法 为什么要用小波来进行边缘检测？ 边缘检测的分类 局部模极大值点 Canny准则,小波多尺度局部模极大值边缘检测的原理 小波多分辨率边缘检测的具体实现 小波函数的选取 自适应阈值的选取 利用边缘信息进行目标定位 仿真实验,