1,2.4 极限存在准则与两个重要极限,本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重要极限.,一.极限存在准则,准则 (夹逼定理) 若 , 均有,则有 lim (x) = A.,g(x) (x) h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = A,2,证明 由lim g(x) = lim h(x ) = A, 对 则总存在那么一个时刻,在此时刻以后, 同时有,| g(x) A| 与 | h(x) A| 成立, 即,A g(x) A + 与 A h(x) A + ,从而在此时刻以后, 就有 | (x) A| , 故 lim (x) = A.,而 g(x) (x) h(x),则 A g(x) (x) h(x) 0 的情形.,在如右图的单位圆中, 设,而AOB的面积 扇形AOB的面积 AOD的面积,从而,7,从而,例16. 求,同除以 sinx 得,故,8,9,考虑 x 取正整数 n 且趋于 时的情形. 下先证存在.,同理,10,从而,因,对任意的n有,故an 有上界,且,多了最后一项,从而 an 单增.,注:这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数, 其值用e = 2.7182818284)来表示, 即,存在.,11,利用准则 I 可证明,例17.求,若 lim (x) = 0 , lim g(x) = 且 lim (x)g(x) = m, 则,为使计算简化, 我们给出(不证明)上面公式的一 个对“1” 型非常适用的结论:,12,例18.求下列极限,13,14,15,例19. 已知,求 c.,16,例20. 对第一章中的例19,若即时产生即使结算(按连 续复利计算),求银行t期末的本利和.按连续复利(将利 息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算,实质上就是 每期的结算次数 m 时的本利和, 即,