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2 线性变换的运算,3 线性变换的矩阵,4 特征值与特征向量,1 线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8 若当标准形简介,9 最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章 线性变换,5 对角矩阵,一、特征值与特征向量,二、特征值与特征向量的求法,7.4 特征值与特征向量,三、特征子空间,四、特征多项式的有关性质,7.4 特征值与特征向量,从本节开始,我们主要讨论,如何选择一组适当,的基,使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是,一个对角矩阵?,引入,有限维线性空间V中取定一组基后,V的任一线性,希望这个矩阵越简单越好,如对角矩阵.,变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质,,7.4 特征值与特征向量,设 是数域P上线性空间V的一个线性变换,,则称 为 的一个特征值,称 为 的属于特征值,一、特征值与特征向量,定义:,若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量,使得,的特征向量.,7.4 特征值与特征向量, 几何意义:特征向量经线性变换后方向保持,由此知,特征向量不是被特征值所唯一确定的,,注:, 若 是 的属于特征值 的特征向量,则,也是 的属于 的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的,即,若 且 ,则,7.4 特征值与特征向量,设 是V的一组基,,线性变换 在这组基下的矩阵为A.,下的坐标记为,二、特征值与特征向量的求法,分析:,设 是 的特征值,它的一个特征向量 在基,则 在基 下的坐标为,7.4 特征值与特征向量,而 的坐标是,于是,又,从而,又,即 是线性方程组 的解,, 有非零解.,所以它的系数行列式,7.4 特征值与特征向量,以上分析说明:,若 是 的特征值,则,反之,若 满足,则齐次线性方程组 有非零解.,若 是 一个非零解,,特征向量.,则向量 就是 的属于 的一个,7.4 特征值与特征向量,设 是一个文字,矩阵 称为,称为A的特征多项式.,1. 特征多项式的定义,A的特征矩阵,它的行列式,( 是数域P上的一个n次多项式),7.4 特征值与特征向量, 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注:, 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵,,而 是 的一个特征值,则 是特征多项式,的根,即,的一个特征值.,反之,若 是A的特征多项式的根,则 就是,(所以,特征值也称特征根.),而相应的线性方程组 的非零解也就,称为A的属于这个特征值的特征向量.,7.4 特征值与特征向量,i) 在V中任取一组基 写出 在这组基下,就是 的全部特征值.,ii) 求A的特征多项式 在P上的全部根,它们,2. 求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵A .,iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组,并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值,的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.),7.4 特征值与特征向量,则,就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.,而,(其中, 不全为零),就是 的属于 的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为:,7.4 特征值与特征向量,对 皆有,所以,V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例1.在线性空间V中,数乘变换K在任意一组基下,的矩阵都是数量矩阵kE,它的特征多项式是,故数乘变换K的特征值只有数k,且,7.4 特征值与特征向量,解:A的特征多项式,例2.设线性变换 在基 下的矩阵是,求 特征值与特征向量.,故 的特征值为: (二重),7.4 特征值与特征向量,把 代入齐次方程组 得,即,它的一个基础解系为:,因此,属于 的两个线性无关的特征向量为,而属于 的全部特征向量为,不全为零,7.4 特征值与特征向量,因此,属于5的一个线性无关的特征向量为,把 代入齐次方程组 得,解得它的一个基础解系为:,而属于5的全部特征向量为,7.4 特征值与特征向量,三、特征子空间,定义:,再添上零向量所成的集合,即,设 为n维线性空间V的线性变换, 为,的一个特征值,令 为 的属于 的全部特征向量,7.4 特征值与特征向量,注:,的解空间的维数,且由方程组(*)得到的属于 的,若 在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A,则,即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组,(*),全部线性无关的特征向量就是 的一组基.,7.4 特征值与特征向量,四、特征多项式的有关性质,1. 设 则A的特征多项式,由多项式根与系数的关系还可得, A的全体特征值的积,称之为A的迹,记作trA.,7.4 特征值与特征向量,2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式.,于是,,证:设 则存在可逆矩阵X,使得,7.4 特征值与特征向量,注:, 有相同特征多项式的矩阵未必相似.,成是矩阵A的特征值与特征向量.,它们的特征多项式都是 ,但A、B不相似.,多项式;而线性变换 的特征值与特征向量有时也说,因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换 的特征, 由定理6线性变换 的特征值与基的选择无关.,如,7.4 特征值与特征向量,设 为A的特征多项式, 则,证: 设 是 的伴随矩阵,则,3. 哈密尔顿凯莱(HamiltonCaylay)定理,都是的多项式,且其次数不超过n1.,又 的元素是 的各个代数余子式,它们,因此, 可写成,7.4 特征值与特征向量,其中, 都是 的数字矩阵.,再设,比较、两式,得,7.4 特征值与特征向量,以 依次右乘的第一式、第二式、,、第n式、第n1式,得,7.4 特征值与特征向量,把的n1个式子加起来,即得,4. 设 为有限维线性空间V的线性变换, 是,的特征多项式,则,7.4 特征值与特征向量,例3. 设 求,解:A的特征多项式,用 去除 得,7.4 特征值与特征向量,7.4 特征值与特征向量,练习1:已知 为A的一个特征值,则,(1) 必有一个特征值为 ;,(2) 必有一个特征值为 ;,(3)A可逆时, 必有一个特征值为 ;,(4)A可逆时, 必有一个特征值为 .,(5) 则 必有一个特征值为 .,7.4 特征值与特征向量,行列式 .,练习2:已知3阶方阵A的特征值为:1、1、2,,则矩阵 的特征值为: ,,7.4 特征值与特征向量,
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