学过数列极限概念后，自然会产生两个,3 数列极限存在的条件,一、单调有界定理,下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理.,二、柯西收敛准则,理论中占有非常重要的地位.,极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限,即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的,问题：一是怎么知道一个数列是收敛的?,返回,一、单调有界定理,定理 2.7 单调有界数列必有极限.,证 该命题的几何意义是十分明显的.,单调增，有上界. 由确界定理，存在,由上确界的定义，对于任意的,例1 设,求,解,这就证明了,由极限的不等式性, 知道 , 所以,下面再来证明此数列有上界.,例2 下面的叙述错在哪儿？,因为显然有,从而得出,是最基本的, 而教材上的证法技巧性较强.,由此得,*例3,证,证明:,例4,证,二、柯西收敛准则,柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：,满足上述条件的数列称为柯西列.,时, 有,证,此这里仅给出必要性的证明.,由此推得,柯西( Cauchy,A.L.17891857 ,法国 ),由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因,发散.,例6,求证,证,例7,证,论上特别有用, 大家将会逐渐体会到它的重要性.,2. 试给出 an 不是柯西列的正面陈述.,1. 对于数列是否收敛的各种判别法加以总结.,复习思考题,注 柯西收敛准则的意义在于: 可以根据数列通,项本身的特征来判断该数列是否收敛, 而不必依,赖于极限定义中的那个极限值 A. 这一特点在理,