线性代数及其应用一个有理矩阵方程的一个新的逆向方法概念：采用古典牛顿舒尔茨法找到一个非奇异的可逆矩阵，我们开发了一个新的 逆向方法获得有理矩阵方程X+ A?X- 1A = I的最小 hermitian 正定解，这里 I 是单 位矩阵，A 是一个给定的非奇异矩阵。 我们目前的收敛性结果和讨论该方法的稳 定性能时，从可用矩阵 AA?开始，我们也提出数值结果比较我们与一些以前开发 的逆向技术建议，以解决同与其相适应的矩阵方程。1.绪论 下面的矩阵方程的最小hermitian 正定解我们是很有兴趣的 X+ A?X- 1A = I, (1) 这里 A 是一个 n n的实或复的非奇异矩阵， I 是 n 阶的单位矩阵。 它成立于 3， 如果（ 1）有 hermitian 正定解，那么它有一个最大的hermitian 解记为 X+，和一 个最小的 hermitian 记为X-。这个最大解 X+能通过 X+= I - Y-,获得，这里Y-是偶 矩阵方程 Y+ AY- 1A?= I的最小解。参见 4有关于（ 1）的解的存在性进一步理 论结果。 方程(1)出现在互惠平稳高斯过程的分析在有限的时间间隔（见5），在最优控 制理论的领域，它关系到一个代数Riccati 的卡尔曼滤波理论中所产生型方程7 使用知名的 hermitian 矩阵的 Lowner 有序（ A ? （A B）表示 A - B是一个正定（半正定）矩阵），认为： 0 X- 1，因此 X 00 0 0，那么 2Y- YWY W- 1, (6) 细节见文献 9，引理 3.2.因为A(I - Xj)- 1A? 0，对于 j=0,1,k,由（3）至（6），得Xj+1= 2Xj- XjA-?(I - Xj)A- 1XjA-?（I - Xj）A- 1- 1= A(I - Xj)- 1A?. (7) 结合（ 5）与（ 7），有Xj+1X-，令j = k时，得到 Xk+1X-. 现在，我们将证明 Xk是单调增的。使用（ 3）和X0= AA?，我们有 X1= 2AA?- A(I - AA?)A?= AA?+ A(AA?)A?= X0+ A(AA?)A?. 因此， X1- X0= A AA?A?0 . 我们需要证明 Xk+1- Xk0，由（ 3）我们有 Xk+1- Xk= Xk- XkA-?(I - Xk)A- 1Xk= XkXk- 1- A-?(I - Xk)A- 1Xk. (8) 由（8）可以充分得到 Xk- 1A-?(I - Xk)A- 1. 现在我们假设归纳： XkXk- 1.使 用的是一个类似获得（ 5）的过程，我们有A(I - Xk)- 1A?A(I - Xk - 1)- 1A?.（9）使用（ 7）和j = k - 1,得A(I - Xk - 1)- 1A?Xk. （10）最后由（ 9）和（ 10）得 A(I - Xk)- 1A?XkXk- 1A-?(I - Xk)A- 1, 要求。 到目前为止，我们已经建立的序列Xk 的上界是 X-，且是单调增的。因此，它 是一个收敛序列。这里 Xk的极限是 X，显然满足 0 1,X-+ A?是可逆的。由于 X-+ A?= (X-A-?+ I)A?. 那么P = X-A-? 的所有特征值必须在封闭的单位圆盘，以保证对所有的 | | 1, X-A-?+ I都是非 奇异。因此 (P) 1，其中 (P) 表示P的谱半径。整个本节的其余部分，我们将 假设一分乘法矩阵规范正在使用，对于任何给定矩阵C，有C =C? .两个同 时满足的重要的规范，是光谱范数和Frobenius范数。定理 2.4，如果 X-A-? 1，那么迭代（ 3）表示一个稳态的方案。证明：让我们考虑迭代 （3）,作为Xk+1= G(Xk)的固定点， 其中 G 是定义在（4） 中; 设?k是（3）中的 k 次迭代的数值扰动，并且令 Xk= Xk+ ?k. 对 G 绕Xk利用泰勒展开得到 Xk+1= G(Xk) = G(Xk+ ?k) = G(Xk) + G(Xk)?k+ R ?k.(11) 这R ?k满足， lim?k 0 R ?k / ?k = 0. 由XkX-， 利用引理 2.2 和 （11） ，有?k+1= GX-?k+ R(?k ) = X-A-?kA- 1X-+ R(?k) = P?kP?+ R(?k ) . （12）由（12），得到 ?k+1P 2?k + R(?k) , (13) 能再次得到 ?k+1P 2(k+1)?0+P 2(k - j) R(?j) k j=0. (14)因 P 1， 有 ?k+1 是一个有界值，这表明迭代（3）代表一个稳定的方案。 我们现在讨论（ 3）的收敛速度。命题 2.5.（3)中产生的序列 Xk，由X0= AA?，满足 Xk+1- X- Xk- X- X- 1 + XkA-?2 Xk- X- . 证明：由定理 2.3，我们知道 limk Xk= X-.由（3）得 Xk+1= 2Xk- XkA-? I - X- (Xk- X-)A- 1X k.由X-解答问题（ 2），则 I - X-= A?X- 1A，并且有Xk+1= 2Xk- XkA-?A?X- 1A - (Xk- X-)A- 1Xk = 2Xk- XkX- 1Xk+ XkA-?(Xk- X-)A- 1Xk. (15) 从（15）的两边减去 X-，得到 Xk+1- X-= -X- 2Xk+ XkX- 1Xk+ XkA-?(Xk- X-)A- 1Xk = -Xk- X-X- 1Xk- X-+ XkA-?(Xk- X-)A- 1X k(16) 根据（ 16）和Xk= Xk?，我们有 Xk+1- X- Xk- X-2 X- 1 + XkA-?2 Xk- X- (17)= Xk-X- X- 1 + XkA-?2 Xk- X- (18)现在由limk Xk- X- X- 1 + XkA-?2 = X -A-?2，则收敛结果能得到。定理 2.6. 设 A 是一个非奇异的矩阵，设 Xkk 0是由迭代（ 3）生成的序列 ,且X0= AA?。对 于任意的 ? 0，我们有 Xk+1- X- (X-A-?2+ ?) Xk- X- , 对所有足够大的 k 成立。 注意，对于迭代（ 3），作为定理 2.6 的一个结果，对于任何的 X-A-? 1， 都有 q 线性收敛。3.数值试验。 所有实验均运行在奔腾IV，3.4 GHZ，利用 Matlab7. 我们报告所要求的迭代的 数量，程序停止时的规范和矩阵乘数的数量要求。在我们的执行中， 我们立刻停 止所有的算法时，剩余的 Frobenius范数小于 10- 15。 我们与迭代（3） 比较（NS） ， 和用逆向法求解（ 2），在所有情况下，我们还应说明初步的推测，以确保其收 敛性。 在2，EL-Sayed和 AL-Dbiban 提出以下迭代M1：Yk+1=I - XkYk+ I , Xk+1= I - A?Yk+1A,初始值有 y0=x0=I。在6，Guo 和 Lancaster提出以下迭代M2: Yk+1= Yk2I - XkYk , Xk+1= I - A?Y k+1A,初始值有 y0=x0=I。在9，Zhan 提出以下迭代M3:Xk+1= I - A?YkA , Yk+1= Yk2I - XkYk,初始值有 y0=x0=I。重要的是要注意到， M2 和 M3 生成一个 hermitian 序列，且要求每次迭代产生4 个矩阵乘数，而 M1 需每次迭代产生 3 个矩阵乘数，但不会产生 hermitian 序列。 另一方面，因为 NS，产生一个 hermitian 序列Xk， 我们有 NS 迭代有每次迭代产生3 个矩阵乘数，且可逆矩阵A 只在开头。算法 1，迭代 NS 1:给定A Cnn和X0= AA? 2：令Ai = A- 1 3：k=0,1直到其收敛 4：令Tk= AiXk5：令Xk+1= 2Xk- Tk?（I - X k）Tk6：结束由于 NS 收敛于 X-，而所有其他方案收敛于X+，我们利用 NS找到（ 2）的最小 解，且用其他三个方案找到偶方程G X = X+ AX- 1A?- I的最大解。因此，“ Res” 的值在我们的报表 F(Xk) F里为 NS，这 G(Xk) F为这一进程停止时的其他方 法。因此，为了衡量我们的近似精度，我们还检查每个实验= Xk- （I - Xk） F是一个 “ 小数“ ， 其中Xk是通过竞争得到 G 的最大近似解 ，这Xk是（2）的最大解的近似值。对所有的10- 16， 是希腊的第五字 母。以下实验均取自关于这一主题的文献。实验 1.在第一个实验中，考虑方程（ 1），A 是1中例 3.1 给出时 . A =0.1- 0.15- 0.2598076 0.150.2125- 0.0649519 0.2598076- 0.06495190.137. 在表 1 的报告结果中，表明NS 需要每迭代次数的矩阵乘数最少，而M3 需要最 大。实验 2.在这试验中，我们求解方程（ 1），这里 A 是定义在 9中的例 2 中。结 果见报表 2. 表 1. NS 的性能， M1，M2，M3 为实验 1 中求解（ 1）. 方案迭代剩余MM NS 18 2.4466e-16 54 M1 233.4606e-16 69 M2 18 4.235e-17 72 M3 33 5.467e-16 132表 2. NS 的性能， M1，M2，M3 为实验 2 中求解（ 1）. 方案迭代剩余MM NS 27 9.384e-16 81 M1 48 5.7084e-16 144 M2 27 8.1694e-16 108 M3 52 5.707e-16 208 表 3. NS 的性能， M1，M2，M3 为实验 3 中求解（ 1）. 方案迭代剩余MM NS 17 9.4001e-16 51 M1 6 4.7227e-16 18 M2 6 3.4158e-17 24 M3 10 3.4356e-17 40 表 4. NS 的性能， M1，M2，M3 为实验 4 中求解（ 1）. 方案迭代剩余MM NS 123 7.1803e-16 369 M1 263 8.8503e-16 789 M2 122 6.4394e-16 488 M3 240 7.8908e-16 960 表 5. NS 的性能， M1，M2，M3 为实验 5 中求解（ 1）. 方案迭代剩余MM NS 4 9.5158e-16 12 M1 5 4.1763e-17 15 M2 4 3.7695e-16 16 M3 6 3.7693e-16 24 A =1402- 1 7634 - 59 48 - 35106 28. 我们可以看到，在表 2， M3 需要比其他三种方法更多的迭代和更多的矩阵乘数， 以满足停止准则。 还可以看到， NS 需要与 M2 相同数量的迭代，以满足其收敛，但是它的矩阵乘 数要比其他所有方法少。实验 3.在这个测试中，矩阵A 为2的例 3.1 A =1 320.2- 0.1 - 0.10.6- 0.50.1 - 0.50.7 - 0.5- 0.5 0.10.70.10.8 0.80.5. 在表 3.我们看到NS 需要比其他方法更多的迭代，以满足其收敛， 然而，值得一 提的是， NS 产生一个很好的逼近方程（ 1）的解的近似值，其迭代次数为6，的 确， F(X