第 1 页 共 12 页北京市北京市海淀区高三适应性海淀区高三适应性考试考试文科数学试题文科数学试题& &参考答案参考答案第第卷（共卷（共 4040 分）分）一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分. .在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. .1.设全集，则（ ）| 33,IxxxN 1,2A ()IAB ABCD 1 1,2 20,1,22.若，则下列不等式中正确的是（ ）0mnABCD 11 nm| |nm2nm mnmnmn3.中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵如图是 2016 年中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字中的一个） ，去m0 9掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，1a2a则一定有（ ）ABCD，的大小与12aa21aa12aa1a2a的值有关m4.如图所示，已知，则下列等式中成立3ACBC OAa OBb OCc第 2 页 共 12 页的是（ ）ABCD 31 22cba2cba 2cab31 22cab5.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）4n SA6B8C14D30 6.已知正项数列中，则等于（ ） na11a 22a 222 122nnnaaa6aA16B8C4D 2 27.已知，若( , )|6,0,0x yxyxy ( , )|4,0,20x yxyxy 向区域上随机投一点，则点落入区域的概率是（ ）PP第 3 页 共 12 页ABCD 1 32 31 92 98.已知函数，正实数， 是公差为负数的等差数列，且21( )( )log3xf xxabc满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判( )( )( )0f af bf cd( )0f x 断：；中一定成立的个数为（ ）dadbdcdcA1B2C3D4 第第卷（共卷（共 110110 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 3030 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）9.设 为虚数单位，则复数所对应的点位于第 象限i2 1izi10.设，则， 按由小到大的顺序是 lg2a 0.52b 3cos4cabc11.已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为 4 的正方形，正视图和侧视图是边长为 4 的等边三角形，则该四棱锥的全面积为 12.已知双曲线的右焦点为，的值为 ，渐进线221xmy(2,0)Fm方程 13.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交22(0)ypx pF60于，两点（点在轴上方） ， ABAxOAFS14.已知函数在函数的零点个数 21,0,( )log,0,xxf xx x( )1yff x第 4 页 共 12 页三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤. .） 15.已知函数2( )sincossin222xxxf x （）求的值；()3f（）求在的值域( )f x(,3 2 16.在数列中，（，）且 na121nnaa2n *nN12a （）证明：数列是等比数列；1na （）求数列的前项和 nannS17.如图，四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，侧棱底面，PABCDPA ABCD且，是侧棱上的动点3PA EPA（）求四棱锥的体积；PABCD（）如果是的中点，求证平面；EPA/ /PCBDE（）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论EPABDCE第 5 页 共 12 页18.股票市场的前身是起源于 1602 年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国2017 年 2 月 26 号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率1 21 83 8（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率p1 3q（）当时，求的值；1 2p q（）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求的取p值范围；（）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率19.已知函数，12( )xxexef xe( )lng xxx（）求函数在区间上的最小值；( )g x2,4（）证明：对任意，都有成立m(0,)n( )( )g mf n20.已知椭圆经过点，离心率为，动点22221(0)xyabab(0,1)P2 2第 6 页 共 12 页(2,)(0)Mm m （）求椭圆的标准方程；（）求以为直径且被直线截得的弦长为 2 的圆的方程；OM3450xy（）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点FFOMOM，证明：线段的长为定值，并求出这个定值NON第 7 页 共 12 页参考参考答案答案一、选择题一、选择题1-5: 6-8: ACBADCDA二、填空题二、填空题9.一 10.11.12.， cab481 33yx 13. 14.4 23 4p三、解答题三、解答题15.解：（），2( )sincossin222xxxf x 2()sincossin3666f2131( )22213 4（）2( )sincossin222xxxf x 11 cossin22xx11(sincos )22xx，21sin()242x由，得，(,3 2x 7(,4124x 所以，21sin()42x 1221sin()12242x第 8 页 共 12 页所以的值域为( )f x12,12 16.（）证明：，121nnaa112(1)nnaa ，12a 113a 所以数列是以 3 为首项 2 为公比的等比数列1na （）解：由（）知，113 2nna ，13 21n na 3(1 2 )3 231 2n n nSnn 17.解：（）平面，PA ABCD，1 3P ABCDABCDVSPA形形形2131333即四棱锥的体积为PABCD3 3（）连结交于，连结ACBDOOE四边形是正方形，是的中点，ABCDOAC又是的中点，EPA/ /PCOE平面，平面，PC BDEOE BDE平面/ /PCBDE（）不论点在何位置，都有EBDCE第 9 页 共 12 页证明如下：四边形是正方形，ABCDBDAC底面，且平面，PA ABCDBD ABCDBDPA又，平面ACPAABD PAC不论点在何位置，都有平面，ECE PAC不论点在何位置，都有EBDCE18.解：（）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以，又因为，所以 113pq1 2p 1 6q （）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得，3 8q 因为，113pq所以，解得，23 38qp7 24p 又因为，113pq0q 第 10 页 共 12 页所以，2 3p 所以72 243p（）记事件为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利” ，A用， 分别表示一年后张师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ，abc用，分别表示一年后李师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ，xyz则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有种，它们是：3 39 ， ，( , )a x( , )a y( , )a z( , )b x( , )b y( , )b z( , )c y( , )c z所以事件的结果有 5 种，它们是：，A( , )a x( , )a y( , )a z( , )b x( , )c x因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5( )9P A 19.（）解：由，可得( )lng xxx( )ln1g xx当，单调递减；1(0, )xe( )0g x ( )g x当，单调递增1( ,)xe( )0g x ( )g x所以函数在区间上单调递增，( )g x2,4又，所以函数在区间上的最小值为(2)2ln2g( )f x2,42ln2（）证明：由（）可知（）在时取得最小值，( )lng xxx(0,)x1xe又，可知11( )gee 1( )g me 由，可得，2( )xxf xee1( )xxfxe所以当时，单调递增；(0,1)x( )0fx ( )f x第 11 页 共 12 页当时，单调递减(1,)x( )0fx ( )f x所以函数（）在时取得最大值，( )f x0x 1x 又，可知，1(1)fe 1( )f ne 所以对任意，都有成立 m(0,)n( )( )g mf n20.解：（）由题意得，2 2c a因为椭圆经过点，所以，(0,1)P1b 又，222abc由解得，22a 221bc所以椭圆方程为2 212xy（）以为直径的圆的圆心为，半径，OM(1,)2m2 14mr 方程为，2 22(1)()124mmxy因为以为直径的圆被直线截得的弦长为 2，OM3450xy所以圆心到直线的距离3450xy212mdr 所以，解得，|325| 5mm4m 所求圆的方程为22(1)(2)5xy第 12 页 共 12 页（）过点作的垂线，垂足设为，由平面几何知：FOMK2|ONOKOM则直线：，直线：，OM2myxFN2(1)yxm 由得，,2 2(1),myxyxm 24 4Kxm，222 2 244|(1)(1)224444KMmmmONxxm所以线段的长为定值.ON2