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第二章 相交线与平行线,1 两条直线的位置关系,新知1 对顶角,(1) 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线;在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.,(2) 如图213,直线AB与CD相交于点O,1与2有公共顶点O,它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角. 两条直线相交构成四个角,共有2对对顶角. 图213中,除1与2是对顶角外,AOD与BOC也是一对对顶角.,(3) 对顶角的性质:对顶角相等.,找一个角的对顶角可以反向延长这个角的两边,以延长线为边的角即是原角的对顶角,对顶角是成对出现的.,【例1】如图214,直线AB,CD,EF相交于点O,AOE40,BOC2AOC,求DOF.,解析 图形中BOC与AOC互为邻补角,结合已知条件BOC2AOC,则可求出AOC,要求DOF只需求它的对顶角EOC即可,本题可用方程求解. 解 设AOCx,则BOC(2x). 因为AOCBOC180, 所以x2x180,解得x60. 所以AOC60. 因为DOF与EOC是对顶角, 所以DOFEOCAOCAOE604020.,举一反三,如图215,直线AB和CD相交于点O,DOE是直角,若130,则2 ,3 , 4 .,60,120,60,2. 如图216所示:直线AB与CD相交于O,已知130,OE是BOC的平分线,则2 ,3 .,30,75,3. 如图217,直线AB,CD相交于点O,EOAB,垂足为O. 若EOD35,则AOC的度数为 .,55,新知2 余角、补角的概念和性质,(1)余角和补角的概念. 如果两个角的和是90,那么称这两个角互为余角; 如果两个角的和是180,那么称这两个角互为补角. (2)性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等包含两方面内容:一是同一个角的余角相等;二是相等的角的余角相等; 同角或等角的补角相等也是这样理解的.,【例2】已知5017,求的余角和补角. 解析 根据余角、补角的定义求解. 解 的余角为9050173943,的补角为180501712943.,举一反三,1. 一个角是5021,则它的余角是 ;补角是 . 2. 一个角的补角是它的3倍,则这个角的度数是 . 3. 如图218,AOC和DOB都是直角,如果DOC26,那么AOB的度数是 .,3939,12939,45,154,新知3 垂直,(1)两条直线相交所成的四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足. (2)平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. (3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.,【例3】下面四种判定两条直线垂直的方法中,正确的有( ) 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,则这两条直线互相垂直;两条直线相交,所成的四个角中,只要有两个角相等,则这两条直线互相垂直;两条直线相交,所成的四个角相等,则这两条直线互相垂直;两条直线相交,有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个,解析 此题主要考查了垂直的定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条之间互相垂直。直接根据垂直的定义即可判断正确;根据对顶角的定义可以知道不正确;两条直线相交,所成的四个角相等,则这四个角都是90,所以正确;根据对顶角的定义可以判定正确. 答案 B,举一反三,1. 如图219,已知直线ONa,直线OMa,可以推断出OM与ON重合的理由是( )A. 两点确定一条直线 B. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 垂线段最短 D. 垂直的定义,B,2. 如图2110,已知直线AB,CD,EF相交于点O,ABCD,DOE127,则COE ,AOF .,53,37,3. 如图2111,直线AB,CD相交于点O,OEAB,COE68,则BOD等于 .,22,1. (3分) 如图KT211,直线a,b相交于点O,若140,则2 ( ) A. 140 B. 120 C. 60 D. 50,A,2. (3分)如图KT212,两条直线AB,CD交于点O,射线OM是AOC的平分线,若BOD80,则BOM等于( ) A. 40 B. 120 C. 140 D. 100,C,3. (3分)下列图形中1与2互为对顶角的是( ),C,4. (3分)如图KT213,三条直线l1,l2,l3相交于点E,则123( ) A. 90 B. 120 C. 180 D. 360,C,5. (3分)如图KT214,直线AB,CD相交于点O,EOAB,垂直为点O,BOD50,则COE ( ) A. 30 B. 140 C. 50 D. 60,B,6. (3分)如图KT215,直线AB,CD交于点O,OA平分EOC,EOC70,则BOD的度数是 ( ) A. 20 B. 30 C. 35 D. 55,C,7. (6分)如图KT216,直线AB,CD相交于点O,过点O作两条射线OM,ON,且AOMCON90.,(1)若OC平分AOM,求AOD的度数;,解:(1)因为AOMCON 90,OC平分AOM, 所以1AOC45, 所以AOD180AOC18045135;,(2)若1 BOC,求AOC和MOD.,解:因为AOM90, 所以BOM1809090. 因为1 BOC, 所以1 BOM30. 所以AOC903060,MOD18030150.,8.(6分)如图KT217所示,已知直线AB,CD相交于点O,OE,OF为射线,AOE90,OF平分AOC,AOFBOD51,求EOD的度数.,解:因为AOCBOD, 因为OF平分AOC, 所以AOF AOC BOD. 因为AOFBOD51, 所以AOF17,BOD34. 因为AOE90, 所以BOE90. 所以DOE9034124.,
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