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阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分 150分。考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2014北京东城区联考)曲线 y x3在 x1 处切线的倾斜角13为( )A1 B4C. D.454答案 C解析 y x3,y|x11,切线的倾斜角 满足13tan1,00 得 x2,选 D.3(2014甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数 f(x)lnx,则函数 g(x)f(x)f (x)的零点所在的区间是( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案 B解析 由题可知 g(x)lnx ,g(1)10,选 B.12e4(文)(2014浙江杜桥中学期中)已知函数 f(x)x3ax23x9在 x3 时取得极值,则 a( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 f (x)3x22ax3,由条件知,x3 是方程 f (x)0 的实数根,a5.(理)(2014营口三中期中)若 a0,b0,且函数 f(x)4x3ax22bx 在 x1 处有极值,则 ab 等于( )A2 B3 C6 D9答案 C解析 f (x)12x22ax2b,由条件知 x1 是方程 f (x)0 的实数根,ab6.5(2014北京东城区联考)如图是函数 yf(x)的导函数 f (x)的图象,则下面判断正确的是( )A在区间(2,1)上 f(x)是增函数B在(1,3)上 f(x)是减函数C在(4,5)上 f(x)是增函数D当 x4 时,f(x)取极大值答案 C解析 由导函数 yf (x)的图象知,f(x)在(2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减,在(4,5)上单调递增,x4 是 f(x)的极小值点,故A、B、D 错误,选 C.6(2014河北冀州中学期中)已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( )A(1,2) B(,3)(6,)C(3,6) D(,1)(2,)答案 B解析 f (x)3x22axa6,由条件知,方程 f (x)0 有两不等实根,4a212(a6)0,a6,故选 B.7(文)(2014泸州市一诊)若曲线 f(x)x 在点(a,f(a)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a( )A64 B32C16 D8答案 A解析 (理)(2014北京朝阳区期中)由直线 x0,x,y0 与曲线23y2sinx 所围成的图形的面积等于( )A3 B.32C1 D.12答案 A解析 2( 1)3.128(文)(2014福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数 F(x)是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数 f fxex(x)满足 f (x)e2f(0),f(2012)e2012f(0)Bf(2)e2012f(0)Cf(2)e2f(0),f(2012)e2f(0)答案 D分析 所给四个选项实质是比较 f(2)与 e2f(0)的大小,即比较与的大小,故构造函数 F(x)解决f2e2f0e0fxex解析 设 F(x),则 F(x)0,fxexf xfxexF(x)在 R 上为增函数,故 F(2)F(0),f2e2f0e0即 f(2)e2f(0)9(2014开滦二中期中)若函数 f(x)x36bx3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( )A(0,1) B(,1)C(0,) D(0, )12答案 D解析 f (x)3x26b,f(x)在(0,1)内有极小值,在(0,1)内存在点 x0,使得在(0,x0)内 f (x)0,由 f (x)0 得,x22b0,Error!00 的解集为( )A(,2)(1,)B(,2)(1,2)C(,1)(1,0)(2,)D(,1)(1,1)(3,)答案 D解析 由 f(x)的图象知,在(,1)上 f (x)0,在(1,1)上f (x)0,又 x22x30 的解集为(,1)(3,),x22x30 的解集为(,1)(1,1)(3,)(理)(2014浙江杜桥中学期中)函数 f(x)的图象大致1lnx1x为( )答案 B解析 令 h(x)ln(x1)x,则 h(x)1,h(x)在(1,0)上单调递增,在(0,)上单调递1x1xx1减,最大值为 h(0)0,h(x)1 时,1loga3,由于 y01,loga30 时, cosx 恒成立, 1,a1,00)的图象所围成的阴影部分的面积为 ,则 k_.92答案 3解析 由Error!解得Error!或Error!由题意得, (kxx2)dx( kx2 x3)| k3 k3 k3 ,k3.k 01213k 01213169216(2014西安一中期中)从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为_cm3.答案 144解析 设小正方形边长为 x,则盒子的容积为 vx(102x)(162x),即 v4(x313x240x),(00,可得 x ;13令 f (x)2 时,f (x)0;当 13 时,g(x)0,当 00,因此函数 f(x)在(1,)上单调递增,则 x1 是 f(x)的极小值点,所以 f(x)在 x1 处取得极小值为 f(1) .12(2)证明:设 F(x)f(x)g(x) x2lnx x3,1223则 F(x)x 2x21x2x3x21x,x12x2x1x当 x1 时,F(x)0,f(x)单调递增1e所以函数 f(x)在1,3上单调递增又 f(1)ln10,所以函数 f(x)在1,3上的最小值为 0.(2)由题意知,2xlnxx2ax3,则 a2lnxx .3x若存在 x ,e使不等式 2f(x)x2ax3 成立,1e则只需 a 小于或等于 2lnxx 的最大值3x设 h(x)2lnxx (x0),则 h(x) 1.3x2x3x2x3x1x2当 x ,1)时,h(x)0,h(x)单调递增h( )2 3e,h(e)2e ,1e1e3eh( )h(e)2e 40,1e2e可得 h( )h(e)1e所以,当 x ,e时,h(x)的最大值为 h( )2 3e.1e1e1e故 a2 3e.1e(3)F(x)lnx.x22x2420(本小题满分 12 分)(文)(2014浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x3ax210.(1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)在区间1,2内至少存在一个实数 x,使得 f(x)11,这与 a 矛盾;32当 10,f(x)单调递增;23所以 x a 时,f(x)取最小值,23因此有 f( a)3,这23827231027与 ,这符合 a3.92综上所述,a 的取值范围为 a .92解法 2:由已知得:ax,x310x210x2设 g(x)x(1x2),g(x)1,10x210x31x2,g(x) .92(理)(2014威海期中)已知 f(x)ex,g(x)lnx.(1)求证:g(x)x20,求证:x11.解析 (1)令 yf(x)xexx,则 yex1,令 y0,解得 x0,当 x0 时 y0,当 x0 时,ymine0010,exx,令 yxg(x)xlnx,y1 (x0),1xx1x令 y0,解得 x1,当 01 时 y0,当 x1 时,ymin1ln110,xlnx,(x0),g(x)0,故当 x(0,80)时,函数 h(x)为减函数,当 x(80,120)时,函数 h(x)为增函数,当 x80 时,h(x)取得最小值,此时 a 取最大值为a200.22.51128000 802880380若油箱有 22.5 升油,则该型号汽车最多行驶 200 千米22(本小题满分 14 分)(文)(2014浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)x22lnx.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)2tx在 x(0,1内恒成立,求 t 的取值范围1x2解析 (1)函数的定义域为(0,),f (x)2x 2x,2x1x1x 由 f (x)0,得 x1,由 f (x)0,h(x)0.(1)若 x3 是函数 f(x)的极值点,求 a 的值;(2)求 f(x)的单调区间;(3)若 f(x)在0,)上的最大值是 0,求 a 的取值范围解析 (1)由题意得 f (x),x(1,),ax2a1xx1由 f (3)0a ,经检验符合题意14(2)令 f (x)0x10,x2 1,1a当 01 时,11,f(x)的单调递增区间是( 1,0)1af(x)的单调递减区间是(1, 1),(0,)1a当 a1 时,f(x)的单调递减区间为(1,)(3)由(2)可知当 0f(0)0,所以 0a1 不合题意,1a当 a1 时,f(x)在(0,)上单调递减,由 f(x)f(0)可得 f(x)在0,)上的最大值为 f(0)0,符合题意,f(x)在0,)上的最大值为 0 时,a 的取值范围是 a1.
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