1,2,1、区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,3,（3）聚点,（4）n维空间,4,2、多元函数概念,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,5,3、多元函数的极限,6,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4、极限的运算,7,5、多元函数的连续性,8,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,6、多元连续函数的性质,9,7、偏导数概念,10,11,12,、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,13,、全微分概念,14,多元函数连续、可导、可微的关系,沿任意方向的方向导数存在,15,10、复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,16,17,11、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,18,隐函数的求导公式,12、隐函数的求导法则,19,20,21,22,23,13、微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,(1) 空间曲线的切线与法平面,24,() 曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,25,14、方向导数,记为,26,三元函数方向导数的定义,定理 如果函数,在点,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有,是可微分的，,27,梯度的概念,28,梯度与方向导数的关系,29,15、多元函数的极值,定义,30,多元函数取得极值的条件,定义 一阶偏导数同时为零的点，称为多元函数的驻点.,31,32,33,条件极值：对自变量有附加条件的极值,34,典型例题,1、求极限,法一 原式,法二 令,则, 原式,法三 令,则,实际上若令,则 原式,所以极限不存在！,前面三法均不正确,时，下列算法是否正确?,原式,35,36,37,解,38,39,40,7、证明:,提示: 利用,在 (0,0) 连续,知,又,在点(0,0)处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,41,7、,证明： 在点(0,0)处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,而,当,时, f 在点(0,0)不可微 !,42,8、,解,43,44,解,45,46,10、 设,其中 f 与F 分别,解法1. 方程两边对 x 求导,得,具有一阶连续导数或偏导数, 求,47,解法2., 求,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,48,11.设,具有二阶连续偏导数, 且,求,解:,49,解,50,于是可得,51,解,13、,52,53,54,55,56,15、,解,分析:,57,得,58,59,16、在第一卦限内作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标.,解: 设,切点为,则切平面的法向量为,切平面方程为,即,在三坐标轴上的截距,60,例16.在第一卦限内作椭球面,的切,平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,求该切点的坐标 .,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,61,令,由实际意义可知,为所求切点 .,62,解,63,