,等差数列,主讲人:郭东,、 观察与思考 ：下面的几个数列：,、问题： 从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点？,分析：从第二项起，后一项与前一项的差是：,、归纳：这些数列共同特点：,导入,是常数1,是常数-3,是常数 1/10,从第2项起它们的后一项与前 一项的差都是同一个常数。,这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。,一、等差数列的定义：,例 1： 观察下列数列是否是等差数列：,等差数列,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。,解析：(1)、该数列的第2项与第一项的差是1，其余的后一 项与前一项的差都是2。不符合等差数的定义 要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数。所以, 它不是等差数列。,（2）、不是。理由同（1）,（3）、是。 它符合等差数列的定义。公差是0.通常 称作常数列.,（4）、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 ： 1，2 ， 3 ，4 ，5 ，是常数，但不是同一常数。所以不是。,1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。 不能颠倒。2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数，也可以是和负数。,评注：,二、等差数列的通项公式：,如果等差数列 an 的首项是 a1 , 公差是d ，那麽由定义得：,a2-a1=d (1)a3-a2=d (2)a4-a3=d (3)a5-a4=d (4)an-a n-1=d (n-1),等号左边为：an-a1 ,等号右边为：(n-1)d,所以： an-a1=(n-1)d ,即an=a1+(n-1)d,当n =1时，上式两边都等于 a1 。 nN*，公式成立。, 等差数列的通项公式是:,an = a1+(n-1)d,n -1 个,三、通项公式的应用：,例 2：（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它的通项公式。,（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，的第20项。,（3）、 -401是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项 ？如果是，是第几项？,等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ，d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。,评注：,分析：知道a1 , d ，求an 。代入通项公式。, a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1) 2=2n-1,解：,（1）、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2，求它 的通项公式。,（2）、求等差数列 8 ， 5 ，4 ，的第20项。,分析： 根据a1=8，d= 5-8= -3，先求出通项公式an ，再求出a20,解： 由题可得 a1=8, d=5-8= -3 ， n=20所以这个数列的通项公式为:an=8+(n-1) (-3) =11-3n 当n=20时,有a20 = 8+(20-1)(-3)= -49,解： a1= -5, d= -9-(-5)= -4 an= -5+(n-1) (-4)= -4n-1 -401= -4n-1 n=100 -401是该数列的第100项。,分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再把 401代入，然后看是否存在正整数n 。,（3）、 -401是不是等差数列 5 ， -9 ，-13 ， 的项 ？如果是，是第几项？,解： 由题意可得a1+4d=10 (1)a1+11d=31 (2), d = 2 a1 =2, an = 2+(n-1) 2 = 2n,此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。,例3： 在等差数列an中 ， 已知a5=10 ，a12=31 ,求首项a1 ，公差 d 。,分析： 此题已知a5=10 ，n=5 ；a12=31 , n=12分别代入通项， 公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d 。,*,评注：,推广后的通项公式:,(n-m)d,(m n),由通项公式及其变形式我们知道:(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;(2)已知等差数列任意两项,可以确定等差数列中的任一项,1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并且差是 同 一常数。,2、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。,四、小结：,这节课主要讲了以下两个问题：,1、（1）、求等差数列 3 ，7 ， 11 ，的第4项和第10项。（2）、100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。（3）、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。,2、在等差数列an中，（1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。（2）、已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。,五、练习：,解： （1）、 a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1）= 4n-1 a4=44-1=15 ， a10=410 1=39,（2）、 a1=2 ，d=9-2=7 an=2+7（n-1)= 7n-5 100=7n-5 n =15 100是该数列的第15项。,（3）、 a1=0 ，d= -3.5 -0= -3.5 an=0-3.5（n-1）= -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5无正整数解 -20不是该数列的项。,解： （1）已知 a4 =10， a7 =19 由通项公式的推广形式知d=(19-10) (7-4)=3a4 = a1 +3d 解得 a1 =10-33=1,（2）由题意得 d= (a9 a3 ) (9-3)= -1a3 = a1 +2d 解得：d= -1 , a1=11 。 an=11-1（n-1）=12-n a12= 12-12 =0,练习与作业：,(1)、练习：P113 1 、2 (2)、作业：P114 1 、 2,谢谢大家,课已讲完,不对之处请提宝贵意见,