1 随机事件与随机变量,一. 随机试验和随机事件,试验是对自然现象进行的观察和各种科学实验.,随机试验的特点:,随机试验是对随机现象所进行的观察和实验。,常见随机试验,(1) 可在相同条件下重复进行;,(2) 可以弄清试验的全部可能结果;,(3) 试验前不能预言将出现哪一个结果。,退 出,前一页,后一页,目 录,电话呼叫试验,抛硬币,其它试验,随机事件就是在随机试验中可能发生也可能不发生的事情,简称事件。,必然事件就是随机试验中肯定发生的事件,记为。,不可能事件就是随机试验中肯定不发生的事件,记为。,在概率统计中用大写字母 A, B, C 以及 A1, A2,An , 等表示事件。,退 出,前一页,后一页,目 录,基本事件就是在在一次试验中必发生一个且仅发生一个的最简单事件。,注意: 对于同一试验而言，试验目的不同, 则试验 的基本事件就有可能不相同。我们把这称为基本事件具有相对性。,复合事件是由若干基本事件组合而成的事件。,基本事件可理解为“不能再分解”的事件。,抛硬币,测量身高,电话呼叫试验,纸牌试验,前一页,后一页,目 录,退 出,二. 样本空间和随机变量,基本事件A1,单点集1,基本事件A2,单点集2, , ,一一对应,将联系于试验的每一个基本事件，可以用一个包含一个元素的单点集来表示。,所有基本事件对应元素的全体所组成的集合, 称为试验的样本空间（）。 样本空间的元素称为样本点（）。,复合事件由它所包括的基本事件对应的单点集的元素组成的集合表示。,摸球试验,抛硬币,退 出,前一页,后一页,目 录,一次试验之后, 必定出现基本事件中的一个, 假定它对应的样本点是, 对任意事件A, 若A, 称事件A 发生, 否则称 A没有发生。,复合事件是样本空间的一个子集。,样本空间对应的事件是必然事件, 空集对应的事件是不可能事件。,为了能运用数学的手段研究随机现象, 需进一步将所有的元素(即样本点) 数量化。即,例子,Rn,退 出,前一页,后一页,目 录,这些变量都定义在样本空间上，具有以下特点： （1） 变量的取值由随机试验的结果来确定 （2） 它们取某值的可能性大小有确定的规律性。,这种变量的取值变化情况由试验结果确定, 称之为随机变量, 它可以完整地描述试验结果，从而用量化分析方法来研究随机现象的统计规律性。,三、随机事件的关系及运算,随机事件的关系及运算实际上就是集合的关系及运算。不过随机事件的关系有其特有的提法。,退 出,前一页,后一页,目 录,(1) 包含关系,A B，即事件A发生必然导致事件B 发生, 称事件B包含事件A，或A是B 的子事件。,从集合的角度：若A,B,如果两个事件互相包含, 称为事件相等。,对任意事件A, 有 A 。,退 出,前一页,后一页,目 录,B,A,例 从 10个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。,A = 球的号码为4的倍数=4，8, B = 球号码为偶数=2，4，6，8，10。,则：,包 含 关 系,退 出,前一页,后一页,目 录,(2) 和事件,AB = |A 或B 称为 事件A与B 的和， 即当且仅当A与B中至少有一个发生。,退 出,前一页,后一页,目 录,A,退 出,前一页,后一页,目 录,例 从 10个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。,A=球的号码是不大于3的奇数=1，3, B=球的号码是不大于4的偶数=2，4 C=球的号码不超过4 = 1，2，3，4。,则：,和 事 件,退 出,前一页,后一页,目 录,例 对某一目标进行射击，直至命中为止。,设：,A = 击中目标； B = 前k次击中目标。,则,和 事 件,退 出,前一页,后一页,目 录,(3) 积事件,AB = |A 且B 称为事件A与B 的积事件，即当且仅当A和B同时发生。也记为AB。,退 出,前一页,后一页,目 录,A,退 出,前一页,后一页,目 录,例 从 10个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。,A=球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码大于5=6，7，8，9，10 C=球的号码是7或9 = 7，9。,则：,积 事 件,退 出,前一页,后一页,目 录,例 对某一目标进行射击，直至命中为止。,设：,D = 进行了k次射击； Ai = 第i次射击命中目标，i=1,2 Bi = 第i次射击未命中目标, i=1,2,积 事 件,退 出,前一页,后一页,目 录,(4) 互不相容事件,若 AB = , 称 A、B为互不相容或互斥事件, 即事件 A、B不可能同时发生。,显然, 与任何事件互不相容。,A1, A2, , An中任意两个互不相容, 称 n个事件A1, A2, , An两两互不相容（两两互斥）。,事件列 A1, A2, 互不相容是指其中任意有限个事件互不相容。,性质：同一试验的基本事件互不相容。,退 出,前一页,后一页,目 录,事件的互斥,A,B,例 从 10个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个, 记录所得小 球的号码。,A=球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码是不大于4的偶数=2，4。,则：,A与B是互不相容的事件。,退 出,前一页,后一页,目 录,例 对某一目标进行射击，直至命中为止。,设：,Dk = 进行了k次射击，k=1,2 Ai = 第i次射击命中目标，i=1,2 Bj = 第j次射击未命中目标, j=1,2,则：,Dk ，k=1,2 是互不相容的事件列。 Ai、Bi， i=1,2 是互不相容的事件列。,事件的互斥,退 出,前一页,后一页,目 录,(5) 对立事件（逆事件）,若 AB = , 且 AB = , 称 A、B 互为对立事件（逆事件）, 记为 B = 。,从集合的角度:,退 出,前一页,后一页,目 录,A,对 立 事 件,例 从 10个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。,A=球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码是偶数=2，4，6，8，10。,则：,A与B是对立事件。,退 出,前一页,后一页,目 录,(d): 甲未命中或乙命中,(c): 甲未命中,(b): 甲乙均命中,(a): 甲未命中且乙命中,甲乙两人向同一目标射击, 设A=甲命中目标,乙未命中目标 则其对立事件,退 出,前一页,后一页,目 录,(6) 差事件 事件 A与B 之差 AB,从随机事件角度:,AB 是事件 事件A发生并且 B不发生。,从集合的角度:,显然有,退 出,前一页,后一页,目 录,A,B,例 从 10个标有号码 1, 2, 10 的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。,A=球的号码是奇数=1，3，5，7，9, B=球的号码不大于4=1，2，3，4。,则：,A-B=5，7，9。,差 事 件,退 出,前一页,后一页,目 录,(7) 随机事件（集合）运算律,德 摩根律:,吸收律:,退 出,前一页,后一页,目 录,例 证明 (A-AB)B=AB,证明:,差事件性质,对偶律,分配律,吸收律,吸收律,分配律,事 件 的 运 算,退 出,前一页,后一页,目 录,设A B C为三个随机事件,试用A,B,C的运算关系表示下列事件. A发生,B,C都不发生. A,B,C中恰有两个发生. A,B,C中不多于一个发生. A,B,C中至少有一个发生.,解: 1),退 出,前一页,后一页,目 录,