计算机中信息的表示,计算机所处理的信息都是以二进制形式进行存储和处理的。,为了进一步学习和加深对计算机工作过程的理解，很有必要了解一些数制的基本概念。,1 数制,数制的概念,用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的方法叫作数制。,基数：每个数位可以使用的数码总数称为该进位数的基数。例如二进制数的基数为2，即可以使用0和1两个数码。,按权展开式：一个数中每一位的计数单位称为权，例如十进制数26，其十位位数的权是10，个位位数的权是1。任何进制的数皆可以按权展开。,例：一个十进制数975310每个数位上所能使用的符号个数：_，基数为：_； 从右到左第5位（即符号为7）这一位的位权：_；十 进制数的位权以指数形式表达为：_。,10,10,10000,105 + 104 + 103 + 102 + 101 + 100,任何一个N位R进制的数都可以用数字与其位权乘积之和的形式来表达。其公式为：,1 数制,数制的概念,另外，运算中还要遵守“逢R进一，借一当R”的进位规则。,(D1D2 DN)R,= DiRN-i,= D1RN-1,+ D2RN-2,+ ,+ DN-1R1,+ DNR0,例：一个八进制数5741R = _，N = _；,8,4,D1 = _，D2 = _，D3 = _，D4 = _;,5,7,4,1,583,782,481,180,在我们日常生活中，十进制是最常见的数制。在计算机内部，可以使用二进制、八进制、十六进制等数制。,1 数制,数制的分类,十进制、二进制、八进制和十六进制的基数、位权和数码符号如下所示：,10,2,8,16,10n,2n,8n,16n,09,0, 1,07,09, AF,在计算机领域，不同进制分别用不同的英文符号表示，O表示八进制，H表示十六进制，D表示十进制，B表示二进制。,在介绍数制之间的转换前，先了解常用四种数制之间的对应关系。,1 数制,数制之间的转换,0,0,0,0,1,1,1,1,2,10,2,2,3,11,3,3,4,100,4,4,5,101,5,5,6,110,6,6,7,111,7,7,8,1000,10,8,9,1001,11,9,10,1010,12,A,11,1011,13,B,12,1100,14,C,13,1101,15,D,14,1110,16,E,15,1111,17,F,16,10000,20,10,R进制转换为十进制,1 数制,数制之间的转换,基数为R的数字，只要将各位数字与它的权相乘，其积相加，和数就是十进制数。,例：将二进制数100.101、八进制数3506.2、十六进制数0.2A转换成十进制数。,(100.101)2,=,122,+021,+020,+12-1,+02-2,+12-3,=,(4.625)10,(3506.2)8,=,383,+582,+081,+680,+28-1,=,(1862.25)10,(0.2A)16,=,0160,+216-1,+1016-2,=,(0.1640625)10,R进制转换为十进制,1 数制,数制之间的转换,从上面几个例子可以看到：当从R进制转换到十进制时，可以把小数点作为起点，分别向左右两边进行，即对其整数部分和小数部分分别转换。对于二进制来说，只要把数位是1的那些位的权值相加，其和就是等效的十进制数。因此，二十进制转换是最简便的，同时也是最常用的一种。,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,将十进制数转换为基数为R的等效表示时，可将此数分成整数与小数两部分分别转换，然后再拼接起来即可。,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,我们知道，任何一个十进制整数D，都可以用一个R进制数来表示：,整数部分：,= (D1RN-2 + D2RN-3 + + DN-2R1 + DN-1 )R + DN,= Q1R + DN,由此可知，若用D除以R，则商是_，余数是_。,Q1,DN,同理：,Q1 = Q2R + DN-1,Q1再除以R，则商是_，余数是_。,Q2,DN-1,依此类推：,Qi = Qi+1R + DN-i,Qi再除以R，则商是_，余数是_。,Qi+1,DN-i,这样除下去，直到商为0时为止，每次除 R的余数DN，DN-1，D1即构成R进制数。,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,由上面分析得到：十进制整数转换成R进制的整数，可用十进制数连续除以R，其余数即相应R进制数的各位系数。此方法称之除R取余法。,整数部分：,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,整数部分：,例：将十进制数22转换成二进制数。,方法：除2取余法。,22,2,11,余数,0,2,5,1,2,2,1,2,1,0,2,0,1,最低位,最高位,所以,(22)10,=,(10110)2,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,整数部分：,例：将十进制数168转换成八进制数。,方法：除8取余法。,168,8,21,余数,0,8,2,5,8,0,2,最低位,最高位,所以,(168)10,=,(250)8,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,我们可将某十进制小数用R进制数来表示：,小数部分：,V = X-1/R1 + X-2/R2 + X-3/R3 + + X-M/RM,等式两边乘以R得到：,VR = X-1 + X-2/R1 + X-3/R2 + + X-M/RM-1,= X-1 + F1,X-1是整数部分，即R进制数小数点后第一位，F1是小数部分。,小数部分再乘以R：,F1R = X-2 + X-3/R1 + + X-M/RM-2,= X-2 + F2,X-2是整数部分，即R进制数小数点后第二位。,依次乘下去，直到小数部分为0，或达到 所要求的精度为止（小数部分可能永不为0）。,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,从前面分析得到：十进制小数转换成R进制数时，可连续地乘以R，得到的整数即组成R进制的数，此法称为“乘R取整”。,小数部分：,十进制转换为R进制,1 数制,数制之间的转换,小数部分：,例：将十进制数0.8125转换成二进制数。,方法：乘2取整法。,0.8125,2,1.6250,取整,1,0.6250,2,1.2500,1,0.2500,2,0.5000,0,0.5000,2,1.0000,1,最低位,最高位,所以,(0.8125)10,=,(0.1101)2,1 数制,数制之间的转换,若将十进制数22.8125转换成二进制数，可分别进行整数部分和小数部分的转换，然后再拼在一起：,十进制转换为R进制,(22.8125)10,=,(10110.1101)2,二进制、八进制、十六进制之间的相互转换,1 数制,数制之间的转换,二进制数转成八进制数：由于8是2的整数次幂，因此，一位八进制数正好相当于三位二进制数。对于整数，转换顺序是从最右三位数起，不够三位补零，同理对于小数，按从左向右的顺序进行。,例：将二进制数11010110101.11101011101B转换成八进制数。,整数：,11010110101,5,6,2,0,3,(3265)8,小数：,11101011101,7,2,7,0,2,(0.7272)8,所以,(11010110101.11101011101)2,=,(3265.7272)8,二进制、八进制、十六进制之间的相互转换,1 数制,数制之间的转换,二进制数转成十六进制数：由于16也是2的整数次幂，因此，一位十六进制数正好相当于四位二进制数。对于整数，转换顺序是从最右四位数起，不够四位补零，同理对于小数，按从左向右的顺序进行。,例：将二进制数110100111111010.10111101101001B转换成十六进制数。,整数：,110100111111010,A,F,9,0,6,(69FA)16,小数：,10111101101001,B,D,A,00,4,(0.BDA4)16,所以,(110100111111010.10111101101001)2,=,(69FA.BDA4)16,二进制、八进制、十六进制之间的相互转换,1 数制,数制之间的转换,由于八进制或十六进制与二进制之间的转换极为方便，而且用八进制或十六进制书写要比用二进制书写简短，阅读也方便，因此，八进制或十六进制常用于指令的书写、编制程序或目标程序的输入与输出。 特别是，计算机存储器以字节为单位，一个 字节包含八个二进制位，正好用两个十六进 制位表示，因此，十六进制用得更多一些。,二进制的重要性,1 数制,计算机内部的一切信息（包括数值、字符、指令等）的存放、处理和传送均采用二进制数的形式。二进制数在计算机内是以元器件的物理状态来表示的，这些元器件具有两种不同的稳定状态（低电平表示0，高电平表示1）且能相互转换。,在计算机内部，采用二进制数表示信息的原因主要有以下几点：,（1）容易实现。具有两种稳定状态的电子器件在技术上很容易实现。,（2）可靠性好。,（3）具有逻辑性。二进制数的0和1与逻辑代数中的真和假相对应。,二进制数的书写比较复杂，因此，通常又用八进制或十六进制来书写和表示。,在计算机内部，数据均采用二进制编码来表示。一串二进制位，既可以表示数值的大小，也可以表示字符的编码。,2 数据与编码,信息的存储单位,信息的单位通常采用“位”、“字节”、“字”。,2 数据与编码,位（bit）：度量数据的最小单位，表示一位二进制信息。,字节（byte）：一个字节由八位二进制数字组成（1 byte = 8 bit）。字节是信息存储中最常用的基本单位。,信息的存储单位,计算机的存储器（包括内存与外存）通常也是以多少字节来表示它的容量。常用的单位有：,2 数据与编码,K字节： 1K = 1024byte,M(兆）字节： 1M = 1024K,G字节： 1G = 1024M,信息的存储单位,字（Word）：字是位的组合，并作为一个独立的信息单位处理。字又称为计算机字，它的含义取决于机器的类型、字长以及使用者的要求。常用的固定字长有8位、16位、32位等。,2 数据与编码,机器字长：在讨论信息单位时，还有一个机器硬件指标有关的单位，这就是机器字长。机器字长一般是指参加运算的寄存器所含有的二进制数的位数， 它代表了机器的精度。,二进制数的编码表示,一个数在机内的表达形式称为“机器数”，而它代表的数值称为此机器数的“真值”。,2 数据与编码,前面已经提到，数值信息在计算机内是采用二进制编码表示。数有正、负之分，在计算机中如何表示符号呢？,一般情况下：用“0”表示正号，“1”表示负号，符号位放在数的最高位。,例：8位二进制数A=(+1011011) B=(-1011011) ,它们在机器中 可以表示为：,A：,B：,其中最左边一位代表符号位，连同数字 本身一起作为一个数。,二进制数的编码表示,数值信息在计算机内采用符号数字化处理后，计算机便可以识别和表示数符了。为了改进符号数的运算方法和简化运算器的硬件结构，人们研究了符号数的多种二进制编码方法，其实质是对负数表示的不同编码。,2 数据与编码,下面就给大家介绍几种常用的编码原码，反码和补码。,二进制数的编码表示,将符号位数字化为0或1，数的绝对值与符号一起编码，即所谓“符号绝对值表示”的编码，称为原码。,2 数据与编码,原码,用原码表示一个带符号的整数：,如果我们用一个字节存放一个整数，其原码表示如下：,X=+0101011,X原=00101011,X=-0101011,X原=10101011,这里，“X原”就是机器数，X称为机器数 的真值。,