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第七章,弹性体振动,弹性体的线性振动在数学上可归结为偏,微分方程的边值问题。但只有在一些最简单的,下才能,找到准确解 , 因而对于复杂,的弹性体的线性振动问题必须求助于近似解,也就是将无限多自由度系统,离散化为有限多个自由度,情况,系统( 离散系统 ),( 连续系统 ),弹性体 (连续体 ) 的线性振动有无限多个,自由度,因而具有无限多个固有,频率和无限,多个主振型 。弹性体的任何振动形态也可,表示为各主振型的线,性叠加。因而对于弹性,体的动态响应分析,主振型叠加法仍然适用。,一、杆的纵向振动,杆单位体积质量为,x,,杆长为,截面积为A,,,纵向张力为,,则,dx,应变,在,截面处张力为,列出杆微元,的运动微分方程,c为纵波波速,与,E成正比, 波动方程,令,有,1. 两端固定杆,2. 两端自由杆,有,及,或,3. 一端固定一端自由杆,基桩低应变测试及其应用,适用条件判断基桩完整性.-质量检测(Quality Inspection)基本假定1.假定桩为细长的、无阻尼的弹性直杆;2.假定桩产生轴向变形以后横截面仍保持为平面,横截面上应力分布均匀。,基本原理(一).建立单元微分方程(平衡方程)假定桩长为l,截面积为A,重度为,质量密度为,弹性模量为E, 桩端土的抗压刚度为K0、阻尼系数为C0,桩侧土的抗压刚度为K、阻尼系数为C.于是,桩单元的应力平衡方程(结合图示)(桩土作用:弹簧K粘滞体C),基本微分方程的建立过程,即,由于,所以,(二).微分方程的求解1.不考虑桩侧土的影响(K=0,C=0),摩擦桩:,端承桩:,VP桩身材料的纵波波速(m/s) C1、C2由桩顶桩端的边界条件(见下)确定:,2.考虑桩周土的影响同上述,但结果很复杂。,无论桩周土考虑与否,都可以根据实际波形进行基桩完整性分析:相邻固有频率差为,分析该式-已知曲线得t时域曲线(或频域曲线),再据VP得缺陷位置l.,试验设备 手锤、黄油 传感器、导线 基桩低应变分析仪、显示器,试验方法 黄油、传感器、手锤、获得波形(时域)曲线。 资料整理 直接由显示器得波形(时域)曲线(或其积分 频域曲线),只要分析该曲线即可,无需进一步整理。,二. 弦振动若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播,我们取 的微分段加以讨论(见图)。 设弦线的线密度(即单位长质量)为 ,则此微分段弦线的质量为 。在A、B处受到左右邻段的张力分别为 、 ,其方向为沿弦线的切线方向与x轴交成 、 角。,由于弦线上传播的横波在,方向无振动,,所以作用在微分段,该为零,即,又根据牛顿第二定律,在y,方向微分段的运,上的张力的 x分量应,动方程为:,对于小的振动,可取,而,、,都很小,所以,又从导数的几何意义可知,即,表示张力不随时间和地点而变,为一定值,有,将,按泰勒级数展开并略去二级微量得,将此式代入,得,即,在线密度为,张力为T的弦线上,,横波传播速度c的平方等于:,有:,上式亦为波动方程,令,有:,边界条件:,有:,特征值:,振型函数:,弦的1、2、3阶主振型,张紧弦的前三阶振型如图,拉索索力测量原理,斜拉索索力测定的理论基础是弦振动理论,张紧的斜拉索,的动力方程为,其中: y-横向坐标(垂直于索长度方向),x-纵向坐标(沿索长度方向),w-单位索长的重量,g-重力加速度,T-索的张力,如果索的两端是铰支的,则方程的解为,其中: l-索的长度,n-索的振动阶次,fn-索的第n阶振动频率,对于某一确定的索,w、l、g都是已知值,如果能精确测定fn ,并确定,相应的 n 值 ,,便可求得索力T。,拉索索力测试的基本原理是基于环境,随机振动法,其现场测试的流程图如下:,加速度传感器,信号采集分析,拉索索力计算,三、梁的横向振动,y,x,x,dx,M,V,又:,则,则,令,令,代入有,设,则 特征方程,从,有,1. 两端简支,则,振型,当,时,,不为零则,有特征方程,2. 两端固支,特征方程,3. 悬臂梁,特征方程,
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