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基础知识 一、棱柱的概念与性质 (1)棱柱的概念 如果一个多面体有两个面 ,而其余各面都是 形,并且每相邻两个 的公共边都 ,由此面围成的 叫做棱柱 侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱;侧棱 底面的棱 柱叫做直棱柱;底面是 的直棱柱叫做正棱柱,互相平行,四边,四边形,互相,几何体,垂直于,不垂直于,正多边形,平行,(2)棱柱的性质 所有的侧棱都相等,各个侧面都是 ; 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 ; 过不相邻的两条侧棱的截面都是 (3)棱柱的侧面积和体积公式 直棱柱的侧面积和体积公式 如果直棱柱的底面周长是c,高是h,那么它的侧面积是S直棱柱侧 . 如果直棱柱的底面面积是S,高是h,那么它的体积是V直棱柱 .,平行四边形,全等多边形,平行四边形,ch,Sh,斜棱柱的侧面积和体积公式 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为c,侧棱长为l,那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧 . 如果斜棱柱的直截面的面积为S,侧棱长为l,那么它的体积是V斜棱柱 .,cl,Sl,二、长方体 (1)几个概念:底面是 叫做平行六面体 叫做直平行六面体, 叫做长方体 叫做正方体 (2)长方体的对角线的性质:长方体的一条对角线长的平方等于 ,平行四边形的四棱柱,侧棱与底面垂直的平行六面体,底面是矩形的直平行六面体,棱长都,相等的长方体,一个顶点上三条棱长的平方和,温馨提示:(1)正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱,因此正四棱柱一定是长方体,长方体不一定是正四棱柱,三、棱锥的概念和性质 (1)棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是 的三角形,那么这个多面体叫做棱锥 (2)性质定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,并且它们面积的比等于 ,有一个公共顶点,截,得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比,归纳拓展:(1)如果棱锥的各侧棱相等或各侧棱与底面成等角,那么顶点在底面上的射影是底面多边形的外心; (2)如果棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等,那么顶点在底面上的射影是底面多边形的内心; (3)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心,四、正棱锥的概念与性质 (1)正棱锥:如果一个棱锥的底面是 ,并且顶点在底面的射影是 ,这样的棱锥叫做正棱锥 (2)正棱锥的性质: 正棱锥各侧棱 ,各侧面都是 ,各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高,正棱锥的斜高相等 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 ;正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个 ,正多边形,底面的中心,相等,全等的等腰三,角形,直角三角形,直角三角形,五、棱锥的面积与体积 (1)棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和,即S全 若c为正棱锥的底面周长,h为斜高,则S侧 ch. (2)棱锥的体积等于它的底面积(S)与高(h)的乘积的三分之一,即V棱锥 Sh.,S底S侧,易错知识 一、概念理解错误 1下面是关于正三棱锥的四个命题: 底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥;底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥;侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中,真命题的编号是_(写出所有真命题的编号),解题思路:顶点在底面内的射影是内心,又底面是正三角形,故为中心,正确;如图(1)中,ACBCCDBDADAB,每个侧面都是等腰三角形,但此棱锥不是正三棱锥,错误;如图(2),以正六边形ABDEFG的一边AB为边,作正ABC,正六边形的中心O为三棱锥SABC的顶点S的射影满足条件:三棱锥的侧面积全相等,但不是正三棱锥,错误;由已知,顶点在底面内的射影是底面三角形的内心,也是外心,故底面三角形为正三角形,又可推导出各侧棱、斜高彼此相等,故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形,故棱锥为正三棱锥,正确综上所述正确,失分警示:误区1:判断是错误的,原因是把多面体的底面理解为其底面所在的平面,如图(2),二面角SACO、SBCO、SABO都相等,但不是正棱锥注意,侧面SAB与底面ABC所成的二面角是SABC,不是SABO.,误区2:判断或是正确的,直观认为正三棱锥满足、的条件,而又举不出反例,就认为正确 误区3:判断错误,原因是由三角形的内心、外心重合而推导不出三角形为正三角形,或者对正三棱锥的概念理解不透,底面是正三角形,顶点在底面内的射影是底面正三角形的中心两个条件吃不准,而妄加判断 启示:对棱柱、棱锥、正棱柱、正棱锥的有关概念,相应性质要深刻理解,把握准确,特别是正棱柱、正棱锥条件要求很高,不可缺少 答案:,二、公式应用错误 3如图,设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PAQC1,则四棱锥BAPQC的体积为 ( ),解题思路:设侧面AA1C1C的面积为S,B到侧面AA1C1C的距离为h,则V Sh.由于PAC1Q.则PQ平分侧面AA1C1C的面积,即四边形APQC的面积为 S,由棱锥的体积公式得VBAPQC,失分警示:三棱柱的体积由一个侧面面积S与这个侧面和它相对棱的距离h表示为V Sh(可以用补形法推导公式)这个公式可能有的同学记不住或不会灵活应用,而使本题思维受阻 答案:C,回归教材 1下列说法正确的是 ( ) A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C底面是正多边形的棱柱是正棱柱 D侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱,解析:考查4个命题: A不正确,两个相对的侧面是矩形,但另一对相对侧面不是矩形,这样的棱柱不是直棱柱; B正确,根据两相交平面垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于这个平面,可得到侧棱必垂直于底面; C不正确,当侧棱不与底面垂直时,不是正棱柱; D不正确,如底面是菱形的直棱柱符合条件,但这样的棱柱不是正棱柱故选B. 答案:B,2(教材改编题)有四个命题:底面是矩形的平行六面体是长方体;棱长相等的直四棱柱是正方体;有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中正确的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4,解析:对于,不正确,因为底面是矩形,若侧棱不垂直于底面,这时四棱柱仍然是斜平行六面体;对于,不正确,若底面是菱形,底面边长与棱长相等,但该直四棱柱不是正方体;对于,不正确,因为有两条侧棱垂直于底面一边,这时两条侧棱所在的侧面是矩形,但是不能推出侧棱与底面垂直;对于,正确,由对角线相等可得出平行六面体的对角面是矩形,从而推得侧棱与底面垂直,这个平行六面体是直平行六面体 答案:A,3正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为 ( )答案:C,4(教材改编题)已知长方体的高是2cm,长与宽的比为43,一条对角线长为 则它的长与宽分别为( ) A4,3 B3,4 C8,6 D6,8答案:C,5(2009江苏,8)在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为_答案:18,【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是 ( ) A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上,思路点拨 过顶点作底面的垂线,找到线面角;利用四点共圆的条件判断A、C;找到球心判断D.,解析 如图所示,,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底面所成的角相等,即A正确;底面四边形必有一个外接圆,即C正确;在高线上可以找到一个点O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D正确;但四棱锥的侧面与底面所成的角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题,答案 B 拓展提升 解决这类问题需在理解棱柱、棱锥几何特征与性质的基础上,准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,高考中往往综合考查线面位置关系,需要有较强的空间想象能力当需要否定一个命题时,举一个反例即可作为选择题,利用四选一的特点,排除三个,可确定第四个为答案,探究 等腰四棱锥的底面形状确定吗? 解析 不确定根据定义,底面四边形只要是一个圆内接四边形即可,下面是关于四棱柱的四个命题: 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱 其中,真命题的编号是_(写出所有真命题的编号) 答案:,解析:若有两个侧面垂直于底面,如果是两个相邻的侧面垂直于底面,则其交线必垂直于底面,就可以判定为直棱柱如果是两个相对的侧面垂直于底面,则不能判定但题目没有强调是相邻,所以不能判定 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则其交线垂直于底面,而侧棱与该交线平行,所以侧棱垂直于底面,满足条件的四棱柱为直棱柱 由各边长相等且全等的菱形为侧面,可组成一个四棱柱,则其可能为平行六面体,而非一定是直四棱柱 四棱柱的过相对侧棱的截面为平行四边形,若其对角线相等则其为矩形,即侧棱垂直于底面,所以满足条件的四棱柱为直四棱柱.,【例2】 如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF2,则该多面体的体积为 ( ),解析 如下图所示,过BC做EF的直截面BCG,做面ADM面BCG,,答案A,(2009辽宁,11)正六棱锥PABCDEF中,G为PB的中点则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为( ) A1:1 B1:2 C2:1 D3:2 答案:C,解析:G为PB中点, VPGACVPABCVGABC 2VGABCVGABCVGABC. 又多边形ABCDEF是正六边形, SABC SACD, VDGACVGACD2VGABC, VDGACVPGAC2:1.,【例3】 (2009山东,18)如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB4,BCCD2,AA12,E,E1分别是棱AD,AA1的中点(1)设F是棱AB的中点,求证:直线EE1平面FCC1; (2)求证:平面D1AC平面BB1C1C.,证明 (1)证法一:取A1B1的中点为F1,连结FF1,C1F1,由于FF1BB1CC1,所以F1平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF1. 连结A1D,F1C,由于A1F1綊D1C1綊CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形,因此A1DF1C.又EE1A1D,得EE1F1C,而EE1平面FCC1,F1C平面FCC1,故EE1平面FCC1.,证法二:因为F为AB的中点,CD2,AB2,ABCD,所以CD綊AF,因此四边形AFCD为平行四边形,所以ADFC.又CC1DD1,FCCC1C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,所以平面ADD1A1平面FCC1,又EE1平面ADD1A1,所以EE1平面FCC1.,
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