(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,1. 空间直角坐标系,2. 空间曲面与方程,7(补充) 空间解析几何简介,1. 空间直角坐标系,通常规定x轴，y轴，z轴的正向要遵循右手法则.,横轴,纵轴,竖轴,坐标原点,上页,下页,首页,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限.,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,空间两点的距离公式,长方体的对角线长的平方等于三条棱 长的平方和，则：,所以点,间的距离为,由图可知，该长方体的各棱长分别为：,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,2. 空间曲面与方程,如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0,7(补充) 空间解析几何简介,定义,不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图 形.,上页,下页,首页,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例1 求与两定点M(-1,0,2),N(3,1,1)距离相等的点的轨迹方程.,解,设动点坐标为P( x, y, z),空间平面的方程为：,其中A、B、C、D都是常数，且A、B、C不全为0.,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例2 作z = d （d为常数）的图形.,解,例3 求球心在点,半径为R的球面方程.,解 设P(x,y,z)是球面上任意一点，则根据两点间的距离公式，得,整理，得,特别地，当球心在原点O(0,0,0)时，球面方程为,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例4,解,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,例5,解,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,如果方程 是三元二次方程，则它的图形是曲面，称为二次曲面.,（1）对称轴为z轴，底面半径为R的圆柱的方程为,对称轴为y轴，底面半径为R的圆柱的方程为,对称轴为x轴，底面半径为R的圆柱的方程为,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,（2）球心在原点，半径为R的上半球面的方程为,（3）圆锥曲面,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,（4）椭球面,7(补充) 空间解析几何简介,(5) 抛物面,上页,下页,首页,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,（ 与 同号）,（6）双曲抛物面（马鞍面）,7(补充) 空间解析几何简介,上页,下页,首页,第七章 多元函数微积分 7.1 多元函数 7.2 偏导数 7.3 全微分 7.4 复合函数的偏导数 7.5 偏导数的几何应用 7.6 多元函数的极值 7.7 二重积分 7.8 二重积分的应用,下页,7.1 多元函数,1. 多元函数的概念,2. 二元函数的极限,3. 二元函数的连续性,首页,上页,下页,7.1 多元函数,1. 多元函数的概念,圆锥的体积和它的底半径R，高H之间具有关系,例1,对于R、H在一定范围内取一对确定的值，V都有 惟一确定的值与之对应.,例2,设R是电阻R1,R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之 间具有关系,对于R1,R2在一定范围内取一对确定的值，R都有惟一确定的值与之对应.,首页,上页,下页,定义1,设在某一变化过程中有三个变量x，y，z，如果对于,变量x，y在其变化范围内所取的每一对数值，,变量z按照某一,法则f，都有惟一确定的数值与之对应，则称z为x，y的二元,函数，记作z=f (x，y).,自变量x，y的取值范围叫做函数的定义域，通常记为D.,二元及二元以上的函数统称为多元函数.,7.1 多元函数,因变量,自变量,首页,上页,下页,7.1 多元函数,所谓平面区域，是指整个x , y 平面或x , y平面上由几条曲线所围成的部分. 围成平面区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包含边界在内的区域称为开区域. 如果一个区域可以包含在一个以原点为圆心、半径适当大的圆内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域.,对于自变量x, y 的一组值，对应着xoy面上的一点P（x , y）因此，二元函数也可以看作是平面上点的函数，即Z = f（P）.,首页,上页,下页,例3,求下列函数的定义域并画出图形：,.,解,（1）由对数函数的定义可知，该函数的定义域是：,7.1 多元函数,首页,上页,下页,（2）要使Z有意义，必须,即,所以，所求函数的定义域是,7.1 多元函数,首页,上页,下页,7.1 多元函数,二元函数z = f (x , y )的图形,首页,上页,下页,例4,作二元函数,的图形.,解,由,两边平方，得,整理，得,7.1 多元函数,首页,上页,下页,2. 二元函数的极限,定义2,设函数z =f(x , y)在点,的某个领域内有定义,(点P0可以除外),如果当点P(x, y)沿任意路经趋于点,f（x, y）趋向于一个确定的常数A，则称A是函数,当P（x, y）趋于,时的极限，记作,上述二元函数的极限又叫做二重极限.,7.1 多元函数,邻域:,首页,上页,下页,例5,求极限,解,2.,例6,求极限,解,7.1 多元函数,首页,上页,下页,例7,讨论极限,是否存在？,解,因为当P（x , y ）沿直线y = 0趋于点（0，0）时，有,0,而当点P（x , y）沿直线y = x 趋于点（0，0）时，有,所以，极限,不存在.,7.1 多元函数,首页,上页,下页,3. 二元函数的连续性,定义3,设函数f（x ,y）在,的某个邻域内有定义，,如果极限,存在，且,则称二元函数f（x ,y）在点,处连续. 如果函数f（x ,y）,在区域D内,的每一点都连续，则称f（x ,y）在区域D内连续.,7.1 多元函数,二元初等函数在其定义区域（指包含在定义域内的区域）内是连续的.,首页,上页,下页,例8,求下列极限,解,（1）,（2）,（1）,（2）,7.1 多元函数,函数f（x ,y）不连续的点称为函数的间断点.,(0,0),首页,上页,下页,1. 偏导数的概念,7.2 偏导数,2. 高阶偏导数,3. 偏导数的经济意义,首页,上页,下页,1. 偏导数的概念,定义,设函数Z=f（x，y）在点(x0, y0)的某邻域内有定义，,当自变量y保持定值y0 ，而自变量x在,处有增量x时，,相应的函数有增量,如果极限,存在，则称此极限值为函数Z=f（x，y）在点 处,对x的偏导数，记作,7.2 偏导数,首页,上页,下页,即,类似地,如果极限,存在,那么称此,极限值为函数Z=f（x，y）在点 处对y的偏导数，记作,即,7.2 偏导数,首页,上页,下页,7.2 偏导数,如果函数Z= f（x，y）在区域D内每一点(x，y)处对x的,偏导数都存在，这个偏导数仍是x，y的函数，,则称这个函数为,Z= f（x，y）对自变量x的偏导函数，记作,即,类似地，z = f（x ,y）对自变量y的偏导函数记作,即,首页,上页,下页,例1,求 在(1,2)的偏导数.,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例2,设,求,解,例3,求三元函数 u=2xy+3yz+5zx 的偏导数.,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,在点M 处的切线关于x轴和y轴的斜率.,根据一元函数导数的几何意义知，偏导数 和,在几何上，分别表示曲线,7.2 偏导数,首页,上页,下页,2. 高阶偏导数,设函数z=f（x，y）在区域D内具有偏导数,则它们仍然是x，y的函数. 如果这两个偏导函数对x和对y的偏导数也存在，,则称它们的偏导数是f（x，y）的二阶偏导数.,7.2 偏导数,（1）两次都对x求偏导数，即 ，记作,首页,上页,下页,7.2 偏导数,（2）第一次对x，第二次对y求偏导数，即 ，记作,（3）第一次对x，第二次对y求偏导数，即 ，记作,（4）两次都对y求偏导数，即 ，记作,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二阶混合偏导数,二阶混合偏导数,首页,上页,下页,例4,设 求,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,定理,如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数,及,在区域D内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数,必相等.,定理说明，只要两个混合偏导数连续，则它们与求导次序无关. 类似地，对于二阶以上的高阶混合偏导数，在混合偏导数连续的条件下，也与求导次序无关.,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例5,设,求,解,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例6,验证函数,满足方程：,证,因此,7.2 偏导数,拉普拉斯方程,3. 偏导数的经济意义,当价格P2不变而P1发生变化时，需求量Q1和Q2将随P1变化而变化，需求量Q1和Q2对价格的弹性分别为,11称为甲商品需求量Q1对自身价格P1的直接价格偏弹性， 21称为甲商品需求量Q2对自身价格P1的交叉价格偏弹性.,类似地，可定义并解释,7.2 偏导数,首页,上页,下页,例7,已知某商品需求量Q1是该商品价格P1与另一相关商品价格 P2 的函数，且,Q1=120-2P1+15P2，,求当,时，需求的直接价格偏弹性11及交叉价格,偏弹性12.,解,当,时，,又,7.2 偏导数,首页,上页,下页,7.3 全微分,1. 全微分的概念,2. 全微分在近似计算中的应用,首页,上页,下页,7.3 全微分,1. 全微分的概念,f（x+x）f（x）f（x）x.,对x的偏增量,对x的偏微分,对y的偏增量,对y的偏微分,首页,上页,下页,设函数z=f（x，y）在点（x，y）的某个领域内有义，点（x+x，y+y）在该邻域内，如果函数z=f（x，y）在点（x，y）的全增量,定义,z=f（x+x，y+y） f（x，y）,可以表示为,z=Ax+By+,其中A、B是x，y的函数，与x，y无关，,是一个比高阶的无穷小，则称A x+B y是二元函数,Z= f（x,y）在点（x , y）处的全微分，记作dz，即,7.3 全微分,dz=Ax+By.,这时，也称二元函数Z= f（x,y）在点（x，y）处可微.,首页,上页,下页,如果函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微分，则它在点（x，y）处连续.,定理1,7.3 全微分,证,首页,上页,下页,定理2,（可微的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点（x，y）,可微， 则它在点（x，y）处的两个偏导数,必存在，且,7.3 全微分,证,首页,上页,下页,（可微的充分条件） 如果函数,在点,处的两个偏导数,都连续，则函数在该点可微.,例1,求函数 的全微分.,解,所以,dz=2xydx+x2dy.,